BPSC 70वीं CCE पुनर्परीक्षा प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 10 / 142

सही उत्तर — (b) 8। गिनने के लिए पहले आकृति को नाम दीजिए। शीर्ष को A कहिए, नीचे-बाएँ शीर्षबिन्दु को B और नीचे-दाएँ को C। एक भीतरी रेखा A से आधार BC पर स्थित बिन्दु D तक जाती है, दूसरी B से दाईं भुजा AC पर स्थित बिन्दु E तक, और दोनों भीतर के किसी बिन्दु F पर एक-दूसरे को काटती हैं। अब गिनती क्षेत्रों से नहीं, रेखाओं से कीजिए, क्योंकि ग़लत गिनती क्षेत्रों से ही आती है। खींची गई सीधी रेखाएँ ठीक पाँच हैं: AB, BC, CA, AD और BE। चित्र का कोई भी त्रिभुज इन्हीं में से तीन रेखाओं से घिरा होगा, और पाँच में से तीन रेखाएँ 5 × 4 × 3 ÷ 6 = 10 तरीक़ों से चुनी जा सकती हैं। इन दस में से दो चुनाव विफल हो जाते हैं, और दोनों एक ही कारण से — तीनों रेखाएँ किसी क्षेत्र को घेरने के बजाय एक ही बिन्दु से होकर निकल जाती हैं। AB, CA और AD तीनों A पर मिलती हैं; AB, BC और BE तीनों B पर। शेष आठों त्रिक सचमुच त्रिभुज घेरते हैं, और वे हैं: ABC, अर्थात् पूरी आकृति; ABD और ADC, जो चेवियन AD से बने दो हिस्से हैं; ABE और BCE, जो चेवियन BE से बने दो हिस्से हैं; तथा कटान-बिन्दु के चारों ओर तीन छोटे — आधार रेखा AB पर ABF, नीचे-दाएँ कोने में BDF और ऊपर-दाएँ कोने में AEF। कुल आठ। इस विधि की सबसे मज़बूत बात वह है जिसकी इसे आवश्यकता ही नहीं पड़ी: गिनती में कहीं भी D या E की स्थिति नहीं आई। इनमें से किसी भी पाद को उसकी भुजा पर सरका दीजिए, वही पाँच रेखाएँ उसी प्रतिरूप में मिलती रहेंगी, इसलिए उत्तर 8 ही रहेगा। त्रिभुज के किसी शीर्ष से सामने वाली भुजा तक खींची गई रेखा को चेवियन कहते हैं, और इस प्रश्न से बाहर ले जाने योग्य सामान्य नियम यह है कि दो भिन्न शीर्षों से खींचे गए दो चेवियन सदैव 8 त्रिभुज बनाते हैं — और ठीक इसीलिए इस प्रश्न का उत्तर निकाला जा सका, यद्यपि पुस्तिका ने आकृति के भीतर कोई अक्षर छापा ही नहीं।

• (a)10 — यह वही गिनती है जो अपभ्रष्ट (डिजनरेट) स्थितियाँ हटाए बिना कच्चे संचय-गणित से मिलती है — पाँच में से तीन रेखाएँ चुनने पर दस त्रिक बनते हैं, और जो अभ्यर्थी वहीं रुक जाता है वह 10 लिख देता है। जिन दो त्रिकों को काटना अनिवार्य है वे किसी शीर्ष पर संगामी हैं: A पर AB के साथ CA और AD, तथा B पर AB के साथ BC और BE। एक ही बिन्दु से गुज़रने वाली तीन रेखाएँ कुछ भी नहीं घेरतीं।
• (c)14 — यह चार भुजाओं वाले क्षेत्र FDCE को इस तरह मान लेने से आता है मानो उसे त्रिभुजों में बाँटा जा सकता हो। बाँटा नहीं जा सकता: न C और F के बीच कोई रेखा खिंची है, न D और E के बीच, इसलिए इस आकृति में वह क्षेत्र चतुर्भुज ही बना रहता है। इन दोनों में से कोई एक खंड जोड़ देने पर गिनती सचमुच बढ़ जाती, और इसीलिए यह विकल्प उस व्यक्ति को विश्वसनीय लगता है जो खींची गई रेखाओं के बजाय क्षेत्रफलों के बारे में सोच रहा हो।
• (d)12 — यह छपी हुई आकृति से अधिक समृद्ध किसी आकृति का उत्तर है — 12 वह संख्या है जो दोनों विकर्णों तथा दो अर्ध-माध्यिकाओं वाले आयत से मिलती है, और वही दिसम्बर 2024 के 70वीं संयुक्त प्रतियोगिता परीक्षा के प्रश्नपत्र में त्रिभुज गिनने वाले प्रश्न का प्रकाशित उत्तर है। यहाँ यह प्रायः कटान-बिन्दु F के आसपास के छोटे क्षेत्रों को दो बार गिन लेने से, या किसी क्षेत्र और उसके दर्पण-प्रतिबिंब को दो बार गिन लेने से आता है।

आकृति के भीतर आकृतियाँ गिनना तर्कशक्ति का मानक प्रश्न है, और इसकी एक भरोसेमंद विधि है जो न दृष्टि पर निर्भर है न धैर्य पर। किसी रेखाचित्र में हर त्रिभुज ठीक तीन सीधी रेखाओं का प्रतिच्छेदन होता है, इसलिए त्रिभुजों की गिनती वस्तुतः यह गिनती है कि खींची गई रेखाओं में से तीन कितने तरीक़ों से चुनी जा सकती हैं, और उसमें से वे चुनाव घटा दिए जाएँ जो विफल हो जाते हैं। कोई चुनाव तब विफल होता है जब तीनों रेखाएँ संगामी हों — अर्थात् सब एक ही बिन्दु से गुज़रें — या समान्तर हों, या जब उनमें से दो का कटान-बिन्दु खींचे गए खंडों के बाहर पड़ जाए। खींची गई रेखाओं पर काम कीजिए, संचय निकालिए, फिर विफलताएँ घटा दीजिए। सरल चेवियन आकृतियों में विफलताएँ सदैव शीर्षों पर की संगामिताएँ ही होती हैं, और उन्हें गिना देना आसान है। इसके साथ एक और मानक परिणाम याद रखने योग्य है: यदि त्रिभुज के एक ही शीर्ष से सामने वाली भुजा तक n चेवियन खींचे जाएँ, तो त्रिभुजों की संख्या (n + 1)(n + 2) ÷ 2 होती है — एक चेवियन पर तीन, दो पर छह, तीन पर दस।

क्षेत्रों के बजाय रेखाएँ गिनने का कारण यह है कि क्षेत्र एक साथ दो उल्टी ग़लतियों में फँसा देते हैं। कई क्षेत्रों के जुड़ने से बने बड़े त्रिभुज छूट जाते हैं, और छोटे त्रिभुज अलग-अलग दिशाओं से देखने पर दो बार गिन लिए जाते हैं। रेखा-विधि में ये दोनों ख़तरे नहीं हैं: पाँच रेखाएँ, दस त्रिक, दो काटे गए, आठ बचे, और यह गणना लिखकर जाँची जा सकती है। यह अक्षर न होने पर भी टिकी रहती है। इस विशेष प्रश्न में आकृति के भीतर कोई अक्षर छपा ही नहीं था, अर्थात् इसे केवल शब्दों के वर्णन से पुनर्निर्मित नहीं किया जा सकता था — और फिर भी गिनती रेखाओं के प्रतिरूप से तय होती है, इस बात से नहीं कि दोनों भीतरी रेखाएँ भुजाओं से कहाँ जाकर मिलती हैं। यही उपयोगी सामान्यीकरण है: दो भिन्न शीर्षों से खींचे गए दो चेवियन के लिए उत्तर 8 ही रहता है, चित्र चाहे जैसे भी खींचा गया हो। परीक्षा के दबाव में व्यावहारिक नियम यह है कि कुछ भी गिनने से पहले हाशिये में चित्र पर आप स्वयं अक्षर लगा लीजिए। बिन्दुओं को नाम दे देना ही उस काम को, जो आँख का काम लगता है, अंकगणित में बदल देता है।

• चेवियन त्रिभुज के किसी शीर्ष से सामने वाली भुजा के किसी बिन्दु तक खींचा गया रेखाखंड है; माध्यिका, शीर्षलम्ब और कोण-समद्विभाजक सब इसी के विशेष रूप हैं।
• दो भिन्न शीर्षों से खींचे गए दो चेवियन सदैव त्रिभुज के भीतर एक-दूसरे को काटते हैं और सदैव ठीक 8 त्रिभुज देते हैं, चाहे उनके पाद कहीं भी रखे जाएँ।
• गिनती खींची गई 5 रेखाओं में से 3 चुनने से आती है — C(5,3) = 10 — और उसमें से वे 2 त्रिक हटा दिए जाते हैं जो किसी शीर्ष पर संगामी हैं।
• आठ त्रिभुज हैं ABC, ABD, ADC, ABE, BCE, ABF, BDF और AEF, जहाँ D तथा E चेवियनों के पाद हैं और F उनका कटान-बिन्दु।
• एक ही शीर्ष से खींचे गए n चेवियनों के लिए त्रिभुजों की संख्या (n + 1)(n + 2) ÷ 2 होती है — एक चेवियन पर 3, दो पर 6, तीन पर 10।

• सबसे छोटे क्षेत्र गिनकर रुक जाना। कई क्षेत्रों के जुड़ने से बने बड़े त्रिभुज ठीक वही हैं जो छूट जाते हैं।
• चार भुजाओं वाले क्षेत्र को विभाज्य मान लेना। FDCE चतुर्भुज है क्योंकि न कोई खंड C को F से जोड़ता है न D को E से; उसे बँटा हुआ मान लेने पर 14 मिलता है।
• संगामी त्रिकों को काटना भूल जाना। पाँच में से तीन रेखाएँ चुनने पर दस मिलते हैं, पर दस में से दो एक ही शीर्ष से गुज़रते हैं और कुछ भी नहीं घेरते — और उत्तर 10 वहीं से आता है।

बीपीएससी आकृति गिनने वाले प्रश्न सामान्य अध्ययन के प्रथम प्रश्नपत्र में ही रखता है, क्योंकि राज्य की प्रारम्भिक परीक्षा में कोई अलग अभिरुचि प्रश्नपत्र है ही नहीं, और अब वह इसे लगातार दो संस्करणों में पूछ चुका है — दिसम्बर 2024 के 70वीं संयुक्त प्रतियोगिता परीक्षा के प्रश्नपत्र में विकर्णों वाला आयत, और पाँच सप्ताह बाद दो चेवियन वाला यह त्रिभुज। यूपीएससी यह सब सीसैट के द्वितीय प्रश्नपत्र में रखता है, जो 33 प्रतिशत पर केवल अर्हकारी है, इसलिए बीपीएससी में बैठने वाले यूपीएससी अभ्यर्थी को इसे वापस अंक देने वाले प्रश्नपत्र की समय-योजना में लाना पड़ता है।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  जब किसी त्रिभुज के एक ही शीर्ष से सामने वाली भुजा तक तीन चेवियन खींचे जाएँ, तो उसके भीतर कितने त्रिभुज बनते हैं ?

  • (a)6
  • (b)8
  • (c)10
  • (d)12

  उत्तर(c) 10 — एक ही शीर्ष से n चेवियनों के लिए गिनती (n + 1)(n + 2) ÷ 2 होती है, इसलिए तीन चेवियन 4 × 5 ÷ 2 = 10 देते हैं। आधार चार भागों में कट जाता है, और उस पर आरम्भ तथा अन्त बिन्दु चुनने के दसों तरीक़े शीर्ष के साथ मिलकर एक-एक त्रिभुज बनाते हैं।

• अभ्यास — वास्तविक विगत वर्ष प्रश्न नहीं

  ऐसे त्रिभुज में कितने त्रिभुज होते हैं जिसमें किसी एक शीर्ष से सामने वाली भुजा तक ठीक एक चेवियन खींचा गया हो ?

  • (a)2
  • (b)3
  • (c)4
  • (d)5

  उत्तर(b) 3 — चेवियन से बने दो भाग, और साथ में मूल पूरा त्रिभुज। रेखा-विधि से देखें तो चार रेखाएँ हैं, C(4,3) = 4 त्रिक बनते हैं, और उनमें से एक उसी शीर्ष पर संगामी है जहाँ से चेवियन निकलता है।