MPSC 2022 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 41 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (3) — 11 प्रतिमा. कोनात ठेवलेले दोन समतल आरसे प्रत्येकी एकच प्रतिमा देत नाहीत, हेच या प्रश्नाचे मर्म आहे. मांजरीपासून निघालेला प्रकाश पहिल्या आरशावर पडून परावर्तित होतो, दुसऱ्या आरशावर जातो, तिथून पुन्हा पहिल्या आरशावर परावर्तित होतो — म्हणजे प्रत्येक आरसा दुसऱ्या आरशाने तयार केलेल्या प्रतिमांचीही प्रतिमा घडवत राहतो. ही मालिका मात्र अनंत काळ चालत नाही : प्रत्येक परावर्तनाने प्रतिमा दोन आरशांच्या छेदनरेषेभोवती थोडी पुढे सरकते, आणि प्रतिमांचे पूर्ण वर्तुळ भरून निघाले की नव्या प्रतिमेला जागाच उरत नाही. यातून निघणारे कार्यसूत्र असे : पूर्ण फेरा, म्हणजे 360 अंश, आरशांमधील कोनाने भागायचा आणि मग शेवटच्या प्रतिमेचे काय करायचे ते ठरवायचे. n = 360 ÷ कोन असे मानू. n ही पूर्ण सम संख्या आली, तर प्रतिमांची संख्या n – 1 असते आणि वस्तू आरशांच्या मध्ये कुठेही ठेवली तरी हा आकडा बदलत नाही. n विषम पूर्ण संख्या आली, तर आकडा वस्तू कुठे ठेवली आहे यावर ठरतो : वस्तू नेमकी कोनदुभाजकावर असेल तर n – 1, आणि आरशांमध्ये इतरत्र कुठेही असेल तर n. या प्रश्नात कोन 30 अंश आहे, म्हणून n = 360 ÷ 30 = 12. बारा ही सम संख्या आहे, म्हणून प्रतिमांची संख्या 12 – 1 = 11, आणि मांजर आरशांच्या मध्ये नेमकी कुठे बसली आहे याचा उत्तरावर काहीही परिणाम होत नाही. सम संख्येच्या वेळी एक प्रतिमा नेमकी का कमी होते, हे सूत्र पाठ करण्यापेक्षा समजून घेणे अधिक उपयोगी आहे. दोन्ही आरशांनी घडवलेल्या सर्व प्रतिमा एकाच वर्तुळावर असतात; त्या वर्तुळाचे केंद्र म्हणजे दोन आरशांची छेदनरेषा आणि त्रिज्या म्हणजे वस्तूचे त्या रेषेपासूनचे अंतर. क्रमाक्रमाने होणाऱ्या परावर्तनांनी या वर्तुळावर प्रतिमा मांडल्या जातात — एक मालिका पहिल्या आरशापासून सुरू होऊन एका दिशेने फिरते आणि दुसरी दुसऱ्या आरशापासून सुरू होऊन उलट दिशेने. n सम असते तेव्हा या दोन्ही मालिका आरशांच्या पलीकडच्या बाजूला एकाच बिंदूवर येऊन संपतात, म्हणजे एका मालिकेतील शेवटची प्रतिमा आणि दुसऱ्या मालिकेतील शेवटची प्रतिमा एकच असते आणि ती दोनदा न मोजता एकदाच मोजायची असते. वर्तुळाचे आरशांमुळे जेवढे भाग पडतात त्यापेक्षा एकूण संख्या एकने कमी येते, ती याच कारणाने. म्हणून उत्तर पर्याय (3).

• (1)0 — दोन समतल आरसे समोरासमोर ठेवून त्यांच्यामध्ये वस्तू ठेवली असता एकही प्रतिमा तयार होणार नाही, अशी मांडणीच अस्तित्वात नाही. एकटा समतल आरसाही आपल्यासमोरच्या प्रत्येक वस्तूची एक प्रतिमा तयार करतो; ती आरशाच्या पृष्ठभागावर पोहोचणाऱ्या प्रकाशाच्या परावर्तनातून घडते. दुसरा आरसा त्या रचनेत आणल्याने प्रतिमांची संख्या वाढू शकते, कमी होण्याचा प्रश्नच नाही. आरशांविषयीच्या प्रश्नाला विचार न करता उत्स्फूर्त उत्तर देण्याची तयारी उमेदवाराकडे आहे का, हे तपासण्यासाठीच हा पर्याय संचात ठेवलेला असतो; कोणतीही आकडेमोड करण्यापूर्वीच तो बाद करता येतो. इथे एक फरक लक्षात ठेवण्याजोगा आहे : प्रतिमा तयार होणे आणि प्रतिमा प्रत्यक्ष दिसणे या दोन वेगळ्या गोष्टी आहेत. तीव्र कोनात ठेवलेल्या आरशांमध्ये काही प्रतिमा आरशांच्या पृष्ठभागांच्या मागे पडतात आणि एका ठरावीक जागी उभ्या असलेल्या निरीक्षकाला त्या सर्व एकाच वेळी दिसतीलच असे नाही; तरीही त्या तयार झालेल्या असतात, आणि प्रश्न रचनेत किती प्रतिमा तयार होतात हे विचारतो, एका डोळ्याला एका जागेवरून किती दिसतात हे नव्हे.
• (2)1 — एकच प्रतिमा हे एकट्या समतल आरशाचे उत्तर आहे; आणि दोन आरसे एकाच प्रतलात, म्हणजे एकमेकांशी 180 अंशांच्या कोनात ठेवले तरी सूत्र हेच उत्तर देते, कारण 360 ÷ 180 = 2 आणि 2 – 1 = 1. या प्रश्नात हा पर्याय निवडणे म्हणजे दोन्ही आरसे एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे काम करतात असे मानणे, किंवा ते कोनात ठेवलेले असल्याने एकमेकांच्या प्रतिमाही परावर्तित करू शकतात हे विसरणे. प्रश्नातील मांडणीचा सगळा भरच बहुपरावर्तनावर आहे : पहिला आरसा एक प्रतिमा घडवतो, दुसरा आरसा त्या प्रतिमेची प्रतिमा घडवतो, पहिला आरसा पुन्हा तिची प्रतिमा घडवतो आणि प्रतिमांचे पूर्ण वर्तुळ भरेपर्यंत हे चालू राहते. एक किंवा दोन असे उत्तर देणे म्हणजे कोन जसजसा लहान होत जातो तसतशी प्रतिमांची संख्या झपाट्याने वाढते हे नजरेआड करणे — 90 अंशांना तीन प्रतिमा, 60 अंशांना पाच, 45 अंशांना सात आणि 30 अंशांना अकरा.
• (4)12 — भागाकार लक्षात राहतो पण वजाबाकी विसरली जाते, अशा उमेदवाराला पकडणारा हा पर्याय आहे. बारा हा n चाच आकडा आहे, म्हणजे 360 ÷ 30, आणि तो दोन आरसे व त्यांच्या विस्तारित प्रतलांमुळे भोवतालच्या वर्तुळाचे जेवढे भाग पडतात तेवढे मोजतो — वेगवेगळ्या प्रतिमा तेवढ्या नसतात. त्या बारा जागांपैकी एक जागा स्वतः मांजरीने व्यापलेली आहे, आणि अडचण नेमकी तिच्या समोरच्या टोकाला येते : एका दिशेने परावर्तने करत गेल्यावर मिळणारी शेवटची प्रतिमा आणि उलट दिशेने परावर्तने करत गेल्यावर मिळणारी शेवटची प्रतिमा एकाच ठिकाणी पडतात, म्हणजे ती एकच प्रतिमा असते आणि दोनदा मोजायची नसते. सम संख्येच्या बाबतीत नेहमी n – 1 उत्तर येते ते याच कारणाने. वेळ असेल तर सहज डोळ्यासमोर आणता येईल अशा उदाहरणावर हा नियम तपासून पाहता येतो : काटकोनात ठेवलेल्या दोन आरशांसाठी 360 ÷ 90 = 4 येते, आणि आरसे बसवलेल्या खोलीच्या कोपऱ्यात उभे राहिलेल्या प्रत्येकाला माहीत असते की तिथे तीन प्रतिमा दिसतात, चार नव्हे.

कोनात ठेवलेले दोन समतल आरसे अशी एक रचना तयार करतात, जिच्यात वारंवार होणाऱ्या परावर्तनांतून प्रतिमा घडतात : प्रत्येक आरसा मूळ वस्तूची आणि दुसऱ्या आरशाने आधीच घडवलेल्या प्रतिमांची अशा दोन्हींची प्रतिमा तयार करतो. या सगळ्या प्रतिमा एका वर्तुळावर असतात; त्या वर्तुळाचे केंद्र म्हणजे दोन आरशांची प्रतले जिथे मिळतात ती छेदनरेषा, आणि त्रिज्या म्हणजे वस्तूचे त्या रेषेपासूनचे अंतर. क्रमाक्रमाने होणारी परावर्तने या वर्तुळावर प्रतिमा वाटून टाकतात. आरशांमधील कोन थीटा असेल, तर 360 ÷ थीटा ही राशी पूर्ण फेऱ्यात थीटा एवढे किती भाग बसतात हे मोजते. ती राशी सम असेल, तर पहिल्या आरशापासून सुरू होणारी आणि दुसऱ्या आरशापासून सुरू होणारी अशा दोन्ही प्रतिमा-मालिका आरशांच्या मागे एकाच बिंदूवर संपतात; शेवटची प्रतिमा दोघांची मिळून एकच असते आणि म्हणून वेगवेगळ्या प्रतिमांची संख्या भागांच्या संख्येपेक्षा एकने कमी असते. ती राशी विषम असेल, तर वस्तू कोनदुभाजकावर ठेवली नसेल तेव्हा दोन्ही मालिका वेगवेगळ्या बिंदूंवर संपतात — म्हणूनच विषम बाबतीतला नियम अटीसह सांगावा लागतो आणि सम बाबतीतला नियम अटीशिवाय सांगता येतो. यातूनच परिचित उदाहरणे निघतात : 90 अंशांना तीन प्रतिमा, 60 अंशांना पाच, 45 अंशांना सात आणि 30 अंशांना अकरा — कोन जसजसा अरुंद होतो तसतशी संख्या वाढते. बहुरूपदर्शक (कॅलिडोस्कोप) हे याचे रोजच्या वापरातले उदाहरण; त्यातील तीन आरसे 60 अंशांवर बसवलेले असतात, म्हणून नक्षी बंद वर्तुळात पुन्हा पुन्हा उमटते.

हा सूत्रावर आधारित प्रश्न आहे, पण त्या सूत्रामागे एक यंत्रणा आहे — आणि नेमक्या याच जोडीचे एमपीएससीच्या विज्ञान विभागाला आकर्षण असते, कारण नियम अर्धाच लक्षात ठेवलेला उमेदवार त्यासाठीच पेरलेल्या पर्यायात अडकतो. नियमाचे दोन भाग असे : पूर्ण फेरा कोनाने भागा, आणि उत्तर सम आले तर त्यातून एक वजा करा. पर्याय (4) हे भागाकार करून तिथेच थांबलेल्या उमेदवाराचे उत्तर आहे, आणि हा प्रश्न बहुधा त्याच पद्धतीने गमावला जातो. सूत्राबरोबर यंत्रणाही शिकून ठेवणे फायद्याचे आहे, कारण आयोग याच कल्पनेची वर्णनात्मक रूपेही विचारतो — आरशांमधील कोन कमी करत गेल्यास काय होते, बहुरूपदर्शकात 60 अंशच का वापरतात, समांतर आरशांत प्रतिमांची मालिका का संपत नाही — आणि यांपैकी कशाचेच उत्तर केवळ सूत्रावरून देता येत नाही. समांतर ठेवलेले दोन आरसे हे लक्षात ठेवण्याजोगे सीमावर्ती उदाहरण आहे : कोन शून्य असतो, भागाकार व्याख्येतच बसत नाही, आणि प्रतिमांची मालिका न संपता चालू राहते; प्रत्येक परावर्तनात थोडा प्रकाश शोषला जात असल्याने पुढची प्रतिमा आधीच्यापेक्षा अंधुक होत जाते. या प्रकारचे प्रश्न नियम पूर्णपणे आठवत असेल तर वेळेच्या दडपणातही झटपट गुण देतात, आणि नियम अर्धवट आठवत असेल तर तेवढ्याच झटपट गुण घालवतात.

• थीटा कोनात ठेवलेल्या दोन समतल आरशांसाठी n = 360 ÷ थीटा असे मानले, तर n ही पूर्ण सम संख्या असल्यास प्रतिमांची संख्या n – 1 असते आणि वस्तू आरशांच्या मध्ये कुठेही ठेवली तरी ती बदलत नाही.
• n विषम पूर्ण संख्या असेल, तर वस्तू आरशांमधील कोनाच्या दुभाजकावर असल्यास प्रतिमांची संख्या n – 1 आणि इतरत्र कुठेही असल्यास n असते.
• 30 अंशांच्या कोनासाठी n = 12 येते; ती सम असल्याने तयार होणाऱ्या प्रतिमा 11 — याच प्रश्नात हेच विचारले आहे.
• याच नियमातून नेहमीची मूल्ये निघतात : 90 अंशांना तीन प्रतिमा, 60 अंशांना पाच आणि 45 अंशांना सात; आरशांमधील कोन जितका अरुंद तितकी संख्या मोठी.
• समांतर ठेवलेले दोन समतल आरसे हे सीमावर्ती उदाहरण आहे — कोन शून्य असल्याने सूत्र लागू होत नाही; परावर्तने न संपता चालू राहतात आणि प्रत्येक परावर्तनात थोडा प्रकाश शोषला गेल्याने पुढची प्रतिमा आधीच्यापेक्षा अंधुक होत जाते.

• 360 ला कोनाने भागून तिथेच थांबणे — त्यातून 11 ऐवजी 12 येते आणि याच प्रश्नात होणारी ही सर्वात सामान्य चूक आहे
• n विषम आले असतानाही वस्तू कुठे ठेवली आहे हे न विचारता सम बाबतीतला नियम लावणे; विषम बाबतीत कोनदुभाजकावर आणि त्याबाहेर उत्तर वेगळे येते
• प्रत्येक आरसा एकच प्रतिमा देतो असे मानून दोन आरशांना दोन प्रतिमा मोजणे, ज्यात या रचनेचा मूळ हेतू असलेले क्रमवार परावर्तनच नजरेआड होते
• समांतर आरशांना हेच सूत्र लावण्याचा प्रयत्न करणे, जिथे कोन शून्य असतो, भागाकाराला अर्थ नसतो आणि प्रतिमांची मालिका संपतच नाही

शालेय अभ्यासक्रमातील प्रकाशशास्त्र एमपीएससी दोन रूपांत विचारते. पहिले रूप याच प्रश्नासारखे थेट आकडेमोडीचे — कोन दिलेला असतो आणि प्रतिमांची संख्या विचारली जाते; निवडलेले कोन बहुधा 30, 45, 60 किंवा 90 अंश असतात, म्हणजे भागाकार पूर्ण संख्येत येतो. दुसरे रूप वर्णनात्मक — कोणता आरसा सुलट व लहान प्रतिमा देतो, समतल आरशातील प्रतिमेला आभासी का म्हणतात, वाहनांवर बहिर्वक्र आरसा का वापरतात, बहुरूपदर्शकात नक्षी कशी तयार होते — आणि इथे सूत्रापेक्षा यंत्रणेची समज कामी येते. या जोडगोळीची तयारी नीट करणे म्हणजे नियम त्याच्या दोन्ही बाजूंसह सांगता येणे आणि 90, 60, 45 व 30 अंशांची नेहमीची मूल्ये तोंडपाठ असणे — तेवढ्याने आकडेमोडीचा प्रश्न केवळ आठवणीचा प्रश्न होतो आणि परीक्षागृहात वाचणारा वेळ मोठा असतो.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  एकमेकांशी 60 अंशांच्या कोनात ठेवलेल्या दोन समतल आरशांमध्ये एक वस्तू ठेवली आहे. तिच्या किती प्रतिमा तयार होतील ?

  • (a)3
  • (b)5
  • (c)6
  • (d)7

  उत्तर(b) 5 — 360 अंशांचा पूर्ण फेरा 60 ने भागल्यास 6 येते; ती सम संख्या असल्याने प्रतिमांची संख्या तिच्यापेक्षा एकने कमी, म्हणजे पाच, आणि वस्तू आरशांच्या मध्ये कुठेही ठेवली तरी हाच आकडा राहतो. 6 हे उत्तर भागाकार करून वजाबाकी विसरणाऱ्या उमेदवाराला मिळते आणि याच प्रकारच्या प्रश्नांत होणारी ती नेहमीची चूक आहे.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  दोन समतल आरसे एकमेकांना समांतर व समोरासमोर ठेवले असून त्यांच्यामध्ये एक वस्तू आहे. प्रतिमांबाबत खालीलपैकी कोणते विधान बरोबर आहे ?

  • (a)प्रत्येक आरशात एक अशा नेमक्या दोन प्रतिमा तयार होतात
  • (b)परावर्तने एकमेकांना छेदून टाकत असल्याने एकही प्रतिमा तयार होत नाही
  • (c)प्रतिमांची न संपणारी मालिका तयार होते आणि प्रत्येक पुढची प्रतिमा आधीच्यापेक्षा अंधुक असते
  • (d)नेमक्या चार प्रतिमा तयार होतात

  उत्तर(c) प्रतिमांची न संपणारी मालिका तयार होते आणि प्रत्येक पुढची प्रतिमा आधीच्यापेक्षा अंधुक असते — आरसे समांतर असल्याने त्यांच्यातील कोन शून्य असतो, म्हणून 360 ला कोनाने भागणारा नियम लावताच येत नाही, आणि प्रकाश पूर्ण फेरा कधीच पूर्ण न करता दोन आरशांमध्ये पुढे-मागे परावर्तित होत राहतो. प्रत्येक परावर्तनात प्रकाशाचा थोडा भाग शोषला जातो, म्हणून पुढची प्रतिमा अधिक अंधुक दिसते आणि मालिका थांबल्यासारखी नव्हे तर विरत गेल्यासारखी वाटते.