MPSC 2022 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 40 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (2) — 1250 m. हा प्रश्न दोन छोट्या टप्प्यांत सुटतो आणि इथे चुकू शकणारी एकच गोष्ट म्हणजे एककांची हाताळणी. पहिला टप्पा तरंग समीकरण वापरतो, जे असे सांगते की तरंगेचा वेग बरोबर तिची वारंवारता गुणिले तिची तरंगलांबी. इथे वारंवारता 1000 हर्ट्झ आहे, म्हणजे दर सेकंदाला हजार पूर्ण आंदोलने एका बिंदूवरून जातात; आणि तरंगलांबी 0·25 मीटर आहे — या प्रश्नपत्रिकेत दशांश चिन्ह नेहमीच्या टिंबाऐवजी वर उचललेल्या मध्यबिंदूने छापलेले आहे. गुणाकार केल्यावर वेग 1000 गुणिले 0·25, म्हणजे 250 मीटर प्रति सेकंद येतो. या गुणाकारामागचे चित्र लक्षात ठेवण्यासारखे आहे, कारण त्यामुळे सूत्र चुकून उलटे लावणे अशक्य होते : एका सेकंदात स्रोत हजार आवर्तने पूर्ण करतो, म्हणजे तो हजार तरंगलांब्या बाहेर सोडतो; आणि प्रत्येक तरंगलांबी पाव मीटर जागा व्यापत असल्याने विक्षोभाचे आघाडीचे टोक हजार पाव मीटर, म्हणजे 250 मीटर पुढे सरकलेले असते. वारंवारता गुणिले तरंगलांबी म्हणजे दर सेकंदाला कापलेले अंतर, आणि दर सेकंदाला कापलेले अंतर म्हणजे वेग. दुसरा टप्पा साधी एकसमान गती आहे. तरंग 250 मीटर प्रति सेकंद या वेगाने 5 सेकंद प्रवास करते, म्हणून ती 250 गुणिले 5, म्हणजे 1250 मीटर अंतर कापते — आणि तोच पर्याय (2). गणित पुन्हा न करता उत्तर तपासणाऱ्या दोन कसोट्या आहेत. पहिली मितींची : हर्ट्झ म्हणजे प्रति सेकंद आणि मीटर म्हणजे लांबी, म्हणून त्यांचा गुणाकार म्हणजे प्रति सेकंद लांबी; आणि त्याला सेकंदातील वेळेने गुणले की पुन्हा मीटरमधली लांबी मिळते — प्रश्न नेमके तेच विचारतो. दुसरी भौतिक कसोटी, आणि ती एकाच वेळी दोन चुकीचे पर्याय बाद करते : 250 मीटर प्रति सेकंद हा वायुरूप माध्यमातील ध्वनीसाठी वाजवी वेग आहे, कारण तो हवेतील सुमारे 340 मीटर प्रति सेकंद या परिचित आकड्याच्याच कोटीतला आहे; याउलट पाच सेकंदांत दहा-वीस किलोमीटर कापणारे उत्तर दहा किंवा सोळा किलोमीटर प्रति सेकंद असा वेग मागते, जो कोणत्याही सामान्य पदार्थातील ध्वनीच्या वेगापेक्षा कितीतरी अधिक आहे — पाण्यात ध्वनी सुमारे पंधराशे मीटर प्रति सेकंद जातो आणि पोलादात काही हजार. एक नोंद : प्रश्नवाक्य माध्यमाचे नाव न घेता 'एका विशिष्ट माध्यमात' एवढेच म्हणते, आणि नेमके त्यामुळेच वारंवारता व तरंगलांबी दिलेली आहे — वेग आठवायचा नाही, तो त्यांच्यातून काढायचा आहे. जो उमेदवार दिलेल्या माहितीऐवजी हवेतील लक्षात असलेला ध्वनीचा वेग वापरतो त्याला वेगळाच आकडा मिळेल आणि तो पर्यायांत सापडणारही नाही. उत्तर पर्याय (2).

• (1)50 km — 50 km म्हणजे 50000 मीटर, आणि ते अंतर 5 सेकंदांत कापण्यासाठी 10000 मीटर प्रति सेकंद, म्हणजे दहा किलोमीटर प्रति सेकंद इतका वेग लागेल. दिलेल्या माहितीतून असा आकडा कोणत्याही प्रकारे निघत नाही : वारंवारता व तरंगलांबी 250 मीटर प्रति सेकंद देतात, आणि 1000 व 0·25 यांची कोणतीही फेरमांडणी दहा हजार देत नाही. या संचात किलोमीटरमध्ये मांडलेले दोन पर्याय आहेत आणि हा त्यांतला एक; त्याचे काम असे की ज्या उमेदवाराने सोडवताना कोठेतरी एककाचे रूपांतर चुकवले आहे त्याला किलोमीटरमधले उत्तर वाट पाहत असलेले दिसावे आणि त्याला दिलासा मिळावा. हा पर्याय कोणतेही गणित करण्याआधी केवळ भौतिक कारणावरूनही नाकारता येतो : दहा किलोमीटर प्रति सेकंद हा कोणत्याही सामान्य माध्यमातील ध्वनीच्या वेगापेक्षा कितीतरी अधिक आहे — पोलादातील वेगाच्या काही पट आणि पाण्यातील व हवेतील वेगाच्या तर अनेक पट — म्हणून 'एका माध्यमातील ध्वनी तरंग' एवढेच वर्णन असलेली तरंग तितक्या वेगाने जाऊच शकत नाही.
• (3)800 m — 800 m म्हणजे 5 सेकंदांत 160 मीटर प्रति सेकंद असा वेग, आणि तो 1000 हर्ट्झ वारंवारता व 0·25 मीटर तरंगलांबीतून निघत नाही — त्या दोघांतून 250 मीटर प्रति सेकंद येतो. तिन्ही चुकीच्या पर्यायांपैकी हा सर्वात धोकादायक आहे, कारण तो मीटरमध्ये मांडलेला आहे, बरोबर उत्तराच्या त्याच परिमाणकोटीतला आहे, आणि तो जो वेग सुचवतो तो वायूतील ध्वनीसाठी किमान कल्पनीय तरी आहे; म्हणजे एककाची कसोटीही त्याला बाद करत नाही आणि संभाव्यतेची कसोटीही करत नाही. त्याला फक्त गणितच बाद करू शकते. संख्यात्मक प्रश्नात अंदाज न बांधता प्रत्यक्ष सोडवण्याचे प्रमाण कारण हेच आहे : चारांपैकी तीन पर्याय अनेकदा नुसत्या नजरेने बाद करता येतात, पण चौथा नेहमी उत्तराच्या इतका जवळ ठेवलेला असतो की नजरेने त्या दोघांत फरक करता येत नाही.
• (4)80 km — 80 km म्हणजे 80000 मीटर, आणि ते 5 सेकंदांत कापायचे तर 16000 मीटर प्रति सेकंद, म्हणजे सोळा किलोमीटर प्रति सेकंद असा वेग लागेल. किलोमीटरमधल्या दुसऱ्या पर्यायाप्रमाणेच हाही गणित व भौतिकशास्त्र दोन्ही कसोट्यांवर पडतो : दिलेली माहिती 250 मीटर प्रति सेकंद देते, आणि सोळा किलोमीटर प्रति सेकंद हा कोणत्याही सामान्य पदार्थातील ध्वनीच्या वेगाच्या कितीतरी पुढे आहे — पोलादसुद्धा ध्वनी काही हजार मीटर प्रति सेकंद याच वेगाने वाहून नेते. चारांपैकी दोन पर्याय किलोमीटरमध्ये असणे हेच पर्यायसंच कसा बांधला आहे याविषयी बरेच सांगते : एककाची कोणतीही चूक करणाऱ्या उमेदवाराला त्याचे चुकीचे उत्तर सापडण्याची पन्नास टक्के शक्यता त्यामुळे तयार होते. हे टाळणारी शिस्त एकच — सोडवण्याच्या प्रत्येक ओळीत आकड्यासोबत त्याचे एककही लिहीत जाणे : हर्ट्झ गुणिले मीटर म्हणजे मीटर प्रति सेकंद, आणि मीटर प्रति सेकंद गुणिले सेकंद म्हणजे मीटर; म्हणजे उत्तर आपले एकक घेऊनच येते.

तरंग समीकरण हा कोणत्याही आवर्ती तरंगेचे वर्णन करणाऱ्या तीन राशींना जोडणारा एकच संबंध आहे, आणि तो असे सांगतो की वेग बरोबर वारंवारता गुणिले तरंगलांबी. या तिन्ही राशींचा भौतिक उगम वेगवेगळा आहे, आणि कोणती राशी कशाने ठरते हे समजून घेतले की सूत्र वापरणे सोपे होते — नुसते पाठ केले की ते उलटे लावले जाण्याची शक्यता राहते. वारंवारता स्रोताने ठरते : दर सेकंदाला हजार वेळा कंप पावणारा स्वरशलाका, स्वरयंत्र किंवा ध्वनिवर्धक दर सेकंदाला हजार आवर्तने बाहेर सोडतो, आणि तरंग एका माध्यमातून दुसऱ्यात गेली तरी तो आकडा बदलत नाही. वेग माध्यमाने ठरतो — त्याच्या स्थितिस्थापकतेने व घनतेने — आणि म्हणूनच ध्वनी सामान्य तापमानाला हवेत सुमारे तीनशे चाळीस मीटर प्रति सेकंद, पाण्यात सुमारे पंधराशे मीटर प्रति सेकंद, आणि पोलादासारख्या स्थायूत काही हजार मीटर प्रति सेकंद जातो. तरंगलांबी मग उरलेल्या दोघांना जे लागते तेवढी होते, आणि तरंग एका माध्यमातून दुसऱ्यात जाताना वारंवारता तीच राहून बदलणारी राशी तीच असते. ध्वनी ही अनुतरंग स्वरूपाची यांत्रिक तरंग आहे; ती संपीडने व विरलने यांच्या मालिकेच्या रूपात पुढे जाते आणि तिला भौतिक माध्यम लागते — निर्वातातून ती जाऊ शकत नाही. माणसाच्या ऐकण्याचा पल्ला सुमारे वीस हर्ट्झपासून सुमारे वीस हजार हर्ट्झपर्यंत असतो, म्हणून या प्रश्नातली हजार हर्ट्झ वारंवारता त्याच्या आत आरामात बसते. तरंग समीकरणावर बांधलेली गणिते तीन रूपांत येतात — दोन राशी देऊन तिसरी विचारणे; समीकरण एकसमान गतीशी जोडून अंतर किंवा वेळ काढणे, जे या प्रश्नात केले आहे; आणि समीकरण परावर्तनाशी जोडून प्रतिध्वनीच्या वेळेवरून परावर्तक पृष्ठभागाचे अंतर काढणे, जिथे एकूण मार्ग निम्मा करायचे लक्षात ठेवावे लागते. तिन्हींत सोडवणे छोटे असते आणि सगळा धोका एककांत असतो; म्हणून प्रत्येक आकड्यासोबत त्याचे एकक लिहीत जाण्याची व सोडवताना ती एकके कापत जाण्याची सवय आणखी कोणतेही सूत्र पाठ करण्यापेक्षा अधिक मोलाची ठरते.

एमपीएससीच्या विज्ञान विभागात मोजके पण सरळ संख्यात्मक प्रश्न असतात, आणि तयारी असलेल्या उमेदवारासाठी पेपरातले सर्वात भरवशाचे गुण तेच असतात — कारण ते एका मिनिटाच्या आत निश्चितपणे सोडवता येतात, तर बाकीच्या बहुतेक प्रश्नांत विवेक वापरावा लागतो. आणि नेमक्या याच भरवशामुळे त्यांचे चुकीचे पर्याय काळजीपूर्वक बांधलेले असतात. इथे तिन्ही चुकीच्या पर्यायांपैकी दोन किलोमीटरमध्ये मांडले आहेत — एककाचे रूपांतर चुकल्यावर उमेदवार नेमक्या त्याच एककाकडे जातो — आणि तिसरा मीटरमधलाच पण बरोबर उत्तराच्या त्याच परिमाणकोटीतला आहे, जो फक्त गणितानेच बाद होतो. यातून मिळणारा धडा असा : आपले उत्तर पर्यायांत सापडणे ही कशाचीच खात्री नाही; खात्री एककांतून आणि भौतिक संभाव्यतेच्या तपासणीतून येते. हा प्रश्न छपाईकडे लक्ष देण्याचेही बक्षीस देतो, आणि ही प्रश्नपत्रिका छपाई आपल्याच पद्धतीने करते : तरंगलांबीतले दशांश चिन्ह वर उचललेल्या मध्यबिंदूने छापले आहे, म्हणून ते मूल्य पाव मीटर आहे, दुसरे काही नाही; आणि एकके मराठी स्तंभातही लॅटिन लिपीतच — 'km', 'm' — छापली आहेत. अपरिचित छपाईच्या पद्धतीने गोंधळणारा उमेदवार चाळीस सेकंदांत सुटणाऱ्या प्रश्नावर वेळ घालवतो. शेवटी हेही लक्षात घ्या की प्रश्नवाक्य माध्यमाचे नाव जाणीवपूर्वक घेत नाही. ती वगळणूक नसून संकेत आहे : वेग आठवायचा नाही, तो दिलेल्या वारंवारता व तरंगलांबीतून काढायचा आहे.

• तरंग समीकरण असे सांगते की तरंगेचा वेग बरोबर तिची वारंवारता गुणिले तिची तरंगलांबी; इथे 1000 हर्ट्झ गुणिले 0·25 मीटर म्हणजे वेग 250 मीटर प्रति सेकंद.
• 250 मीटर प्रति सेकंद वेगाने 5 सेकंद प्रवास करणारी तरंग 250 गुणिले 5, म्हणजे 1250 मीटर अंतर कापते; म्हणून उत्तर मीटरमध्ये आहे, किलोमीटरमध्ये नाही.
• तरंगेची वारंवारता तिच्या स्रोताने ठरते आणि तरंग दुसऱ्या माध्यमात गेली तरी ती बदलत नाही; वेग माध्यमाने ठरतो; आणि तरंगलांबी या दोघांतील संबंध पूर्ण करण्यासाठी जुळवून घेते.
• ध्वनी ही अनुतरंग स्वरूपाची यांत्रिक तरंग असून तिला भौतिक माध्यम लागते; सामान्य तापमानाला ती हवेत सुमारे तीनशे चाळीस मीटर प्रति सेकंद, पाण्यात सुमारे पंधराशे मीटर प्रति सेकंद आणि पोलादात काही हजार मीटर प्रति सेकंद जाते.
• भौतिक संभाव्यतेची कसोटी किलोमीटरमधले दोन्ही पर्याय एकाच वेळी बाद करते : पाच सेकंदांत पन्नास किंवा ऐंशी किलोमीटर कापण्यासाठी अनुक्रमे दहा व सोळा किलोमीटर प्रति सेकंद वेग लागेल, जो कोणत्याही सामान्य पदार्थातील ध्वनीच्या वेगापेक्षा कितीतरी अधिक आहे.

• प्रश्नात दिलेल्या वारंवारता व तरंगलांबीतून वेग न काढता हवेतील लक्षात असलेला 340 मीटर प्रति सेकंद हा वेग वापरणे; प्रश्न माध्यमाचे नाव मुद्दाम घेत नाही
• एककाचे रूपांतर चुकवून किलोमीटरमधले उत्तर निवडणे; या संचात दोन किलोमीटर पर्याय ठेवलेले आहेत आणि तीच त्यांची भूमिका आहे
• तरंग समीकरण उलटे लावणे — वेग भागिले तरंगलांबी किंवा तत्सम; एका सेकंदात हजार तरंगलांब्या बाहेर पडतात हे चित्र लक्षात ठेवले की ते शक्यच होत नाही
• वर उचललेला मध्यबिंदू पाहून तरंगलांबीचे मूल्य वेगळे वाचणे; या प्रश्नपत्रिकेत दशांश चिन्ह त्याच पद्धतीने छापले जाते आणि मूल्य पाव मीटरच आहे

एमपीएससीच्या विज्ञान विभागातील संख्यात्मक प्रश्न शालेय अभ्यासक्रमाच्या आत राहतात आणि मोजक्याच संबंधांवर वारंवार बांधले जातात : तरंग समीकरण, ओहमचा नियम, एकसमान गतीची समीकरणे, भिंग व आरशाची सूत्रे, आणि कार्य व शक्तीची साधी गणिते. तरंगांवरचे प्रश्न तीनपैकी एका प्रकारचे असतात — दिलेल्या दोन राशींतून तिसरी काढणे, तरंग समीकरण वेळेशी जोडून अंतर काढणे, किंवा प्रतिध्वनीवरून परावर्तकाचे अंतर काढणे — आणि या प्रश्नपत्रिकेने दुसरा प्रकार वापरला आहे. गणित नेहमीच छोटे असल्याने गुण एककांच्या हाताळणीवर आणि खूण करण्याआधी उत्तराची भौतिक संभाव्यता तपासली जाते की नाही यावर ठरतात. या दोन्ही गोष्टी ज्ञानाच्या नसून सवयीच्या आहेत, आणि प्रत्येक ओळीत एकके पूर्ण लिहून डझनभर प्रश्न सोडवले की त्या तयार होतात. प्रत्येक विज्ञान विभागात असे एक-दोन प्रश्न असतील हे गृहीत धरा, आणि पेपरातले सर्वात सुरक्षित गुण म्हणून त्यांच्याकडे पाहा.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  एका ध्वनी तरंगाची वारंवारता 500 हर्ट्झ आणि तरंगलांबी 0·6 मीटर आहे. ती एका माध्यमात 4 सेकंद प्रवास करते. कापलेले अंतर किती ?

  • (a)300 मीटर
  • (b)1200 मीटर
  • (c)2000 मीटर
  • (d)1.2 किलोमीटर पेक्षा जास्त

  उत्तर(2) 1200 मीटर. आधी वेग : 500 गुणिले 0·6, म्हणजे 300 मीटर प्रति सेकंद. मग अंतर : 300 गुणिले 4, म्हणजे 1200 मीटर. पहिला पर्याय वेगाचा आकडा अंतर म्हणून देतो — दुसऱ्या टप्प्यावर थांबलेल्या उमेदवाराची ही ठरलेली चूक असते. एकके प्रत्येक ओळीत लिहिली की ती चूक टळते : हर्ट्झ गुणिले मीटर म्हणजे मीटर प्रति सेकंद, आणि तो आकडा अंतर नाही; त्याला सेकंदांनी गुणल्यावरच मीटरमधले अंतर मिळते.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  एक ध्वनी तरंग हवेतून पाण्यात प्रवेश करते. तिच्या वारंवारता व तरंगलांबीचे काय होते ?

  • (a)दोन्ही बदलत नाहीत
  • (b)वारंवारता तीच राहते आणि तरंगलांबी वाढते, कारण पाण्यात वेग अधिक आहे
  • (c)वारंवारता वाढते आणि तरंगलांबी तीच राहते
  • (d)दोन्ही निम्म्या होतात

  उत्तर(2) वारंवारता तीच राहते आणि तरंगलांबी वाढते, कारण पाण्यात वेग अधिक आहे. वारंवारता स्रोताने ठरते आणि माध्यम बदलले तरी ती बदलत नाही; वेग माध्यमाने ठरतो आणि पाण्यातील वेग हवेतील वेगापेक्षा सुमारे चारपट आहे. तरंग समीकरणानुसार वेग बरोबर वारंवारता गुणिले तरंगलांबी असल्याने, वारंवारता स्थिर व वेग वाढला तर तरंगलांबीही त्याच प्रमाणात वाढावी लागते. तीनही चुकीचे पर्याय कोणती राशी कशाने ठरते हा मूळ भेदच चुकवतात.