लेसर किरण पृथ्वीवरून चंद्राकडे सोडल्यानंतर चंद्राच्या पृष्ठभागापासून परावर्तित होऊन पृथ्वीवर परत येण्यास 2.56 सेकंद लागतात. तर चंद्राच्या पृथ्वीभोवतीच्या परिभ्रमण कक्षेची त्रिज्या किती ?
- (1)7.68 × 10⁸ मी.
- (2)76.8 × 10⁵ कि.मी.
- (3)38.4 × 10⁵ कि.मी.
- (4)3.84 × 10⁸ मी.
बरोबर उत्तर पर्याय (4) — 3.84 × 10⁸ मी. प्रश्नात वर्णन केलेली मोजणी म्हणजे लेसर रेंजिंग : चंद्राकडे प्रकाशाची स्पंदने सोडली जातात, ती चंद्रावरच्या परावर्तकावरून परत येतात आणि पृथ्वीवर पुन्हा टिपली जातात. नोंदवलेला काळ जाण्या-येण्याच्या संपूर्ण प्रवासाचा असतो. म्हणून पहिली पायरी तो निम्मा करण्याची. संपूर्ण फेरीला 2.56 सेकंद लागतात, म्हणजे एका बाजूच्या प्रवासाला 1.28 सेकंद. दुसरी पायरी म्हणजे प्रकाशाच्या वेगाने गुणणे, म्हणजे 3 × 10⁸ मीटर प्रति सेकंद : अंतर = 3 × 10⁸ × 1.28 = 3.84 × 10⁸ मीटर. हेच पृथ्वी-चंद्र अंतर आहे, ज्याला प्रश्नाने चंद्राच्या परिभ्रमण कक्षेची त्रिज्या म्हटले आहे, आणि ते सुमारे 3.84 × 10⁵ किलोमीटर या स्वीकृत सरासरी मूल्याशी जुळते — एक किलोमीटर म्हणजे 10³ मीटर असल्याने ती एकच संख्या आहे. पण या प्रश्नात गणितापेक्षा एक जास्त काळजी पर्यायांच्या संचामुळे घ्यावी लागते, कारण त्यात एकके मिसळलेली आहेत : पहिली व चौथी ओळ मीटरमध्ये आणि दुसरी व तिसरी किलोमीटरमध्ये आहे. सर्व काही एकाच एककात आणल्याशिवाय कशाचीही तुलना करता येत नाही. बरोबर उत्तर किलोमीटरमध्ये आणा आणि ते 3.84 × 10⁵ कि.मी. होते. किलोमीटरमधल्या दोन्ही ओळींपैकी एकही ओळ हे मूल्य देत नाही : एक ओळ 38.4 × 10⁵ कि.मी. अशी आहे, म्हणजे 3.84 × 10⁶ कि.मी.; आणि दुसरी 76.8 × 10⁵ कि.मी. अशी, म्हणजे 7.68 × 10⁶ कि.मी. या दोन्ही ओळी ज्या मीटरमधल्या मूल्याशी सारख्या दिसतात त्याच्या बरोबर दहापट आहेत, म्हणून नुसत्या एकक-रूपांतरानेच त्या बाद होतात — आणि या प्रश्नातले खरे काम अंकांवर विश्वास ठेवण्यात नसून हेच रूपांतर करून पाहण्यात आहे. भौतिक आकाराची स्वतंत्र तपासणीही सोबत ठेवण्याजोगी आहे : चंद्रावरून प्रकाश आपल्यापर्यंत सुमारे 1.28 सेकंदांत येतो आणि सूर्यावरून सुमारे आठ मिनिटे वीस सेकंदांत. त्यामुळे ज्या उत्तरातून प्रकाशाला चंद्रापर्यंत पोहोचायला याहून कितीतरी जास्त वेळ लागेल असे निघते, ते उत्तर चंद्राखेरीज दुसऱ्याच कशाचे तरी वर्णन करते. फेरीचा काळ निम्मा करणे, प्रकाशाच्या वेगाने गुणणे आणि एकके एकत्र आणणे — या तीन पायऱ्यांतून 3.84 × 10⁸ मीटर मिळते, म्हणजे पर्याय (4).
- (1)7.68 × 10⁸ मी. — संपूर्ण 2.56 सेकंदांत प्रकाश जेवढे अंतर कापतो तेवढे हे मूल्य आहे — 3 × 10⁸ × 2.56 = 7.68 × 10⁸ मीटर — म्हणजे चंद्रापर्यंत जाऊन परत येण्याचा संपूर्ण प्रवास, चंद्रापर्यंतचे अंतर नव्हे. प्रतिध्वनीवर आधारलेल्या प्रत्येक मोजणीत होणारी सर्वांत नेहमीची चूक हीच आहे — संकेत लेसर प्रकाशाचा असो, रडारचा असो किंवा सोनारचा असो — आणि तिच्याविरुद्ध कायमची सवय लावून घेण्याजोगी आहे : प्रश्नात संकेत 'परत येतो', 'परावर्तित होतो' किंवा 'प्रतिध्वनी' असे शब्द दिसले की काहीही करण्याआधी वेळ निम्मा करावा. शिवाय हे मूल्य नेमके बरोबर उत्तराच्या दुप्पट आहे, म्हणून पर्यायांत एका मूल्याच्या दुप्पट असलेली दुसरी ओळ दिसली की त्यांपैकी एक जाण्या-येण्याची आणि दुसरी एका बाजूची असण्याची शक्यता आधी तपासावी.
- (2)76.8 × 10⁵ कि.मी. — ही ओळ एकाच वेळी दोन गोष्टी मागते आणि दोन्हींत चुकते. उघड करून लिहिली तर 76.8 × 10⁵ कि.मी. म्हणजे 7.68 × 10⁶ किलोमीटर. जाण्या-येण्याचे अंतर किलोमीटरमध्ये 7.68 × 10⁵ कि.मी. भरते, म्हणजे हे मूल्य केवळ चंद्रापर्यंतच्या अंतराऐवजी संपूर्ण फेरीचे आहे एवढेच नाही, तर त्या फेरीच्या अंतराच्याही दहापट आहे. या दोन्ही चुका पकडाव्या लागतात, आणि त्या पकडण्याचा मार्ग एकच : ज्या एककात आपण हिशेब केला आहे त्या एककात आणल्याशिवाय कोणत्याही ओळीशी तुलना करायचीच नाही. मोठ्या संख्या वैज्ञानिक मांडणीत लिहिताना अंकाचा भाग 1 आणि 10 यांच्या दरम्यान आणून पाहिला की 76.8 × 10⁵ लगेच 7.68 × 10⁶ असे दिसते आणि घातातली एक पायरी उघड होते.
- (3)38.4 × 10⁵ कि.मी. — पर्यायांतली सर्वांत धोकादायक ओळ हीच आहे, कारण तिचे अंक अगदी बरोबर अंक आहेत. उघड करून लिहिली तर 38.4 × 10⁵ कि.मी. म्हणजे 3.84 × 10⁶ किलोमीटर, तर किलोमीटरमधले खरे अंतर 3.84 × 10⁵ कि.मी. आहे — तेच सार्थ अंक, पण दहाचा घात एका पायरीने मोठा, म्हणजे दहापट लांब. ज्या उमेदवाराने वेळ निम्मा केला, प्रकाशाच्या वेगाने गुणले आणि 3.84 × 10⁸ मीटर हे बरोबर उत्तर काढले, तोही पर्यायांत ओळखीचे 3.84 आणि 38.4 हे अंक शोधत गेला तर इथेच अडकतो. उपाय तोच : हिशेब एका एककात पूर्ण करावा आणि मग प्रत्येक ओळ त्याच एककात आणून ताडून पाहावी; आकर्षक वाटणाऱ्या ओळीच्या एककात आपले उत्तर नेऊ नये. यासाठी लागणारा पंधरा सेकंदांचा वेळ या प्रश्नात संपूर्ण गुण वाचवतो.
जी अंतरे मोजपट्टीने मोजता येत नाहीत ती माहीत असलेल्या वेगाच्या संकेताचा काळ मोजून काढतात, आणि संकेत ध्वनीचा असो, रेडिओ लहरींचा असो किंवा प्रकाशाचा असो, पद्धत तीच राहते : स्पंदन सोडायचे, ते लक्ष्यावरून परावर्तित होते, आणि जाण्या-येण्याचा काळ निम्मा करून त्याला संकेताच्या वेगाने गुणायचे. सोनार हेच पाण्यातल्या ध्वनीने करून समुद्रतळाची खोली काढते; रडार रेडिओ लहरींनी करून विमाने शोधते आणि शुक्र व आतल्या ग्रहांच्या पृष्ठभागांचे नकाशे बनवते; आणि लेसर रेंजिंग प्रकाशाने करते. चंद्राच्या पृष्ठभागावर प्रतिक्षेपकांचे संच ठेवल्यापासून पृथ्वी-चंद्र अंतर याच पद्धतीने मोजले जाते — ते संच अपोलो मोहिमेतल्या अंतराळवीरांनी आणि सोव्हिएत लुनोखोद यानांनी ठेवले, आणि लुनोखोदवरचे परावर्तक फ्रेंच बनावटीचे होते. प्रतिक्षेपक प्रकाश ज्या दिशेने आला त्याच दिशेने परत पाठवतो, आणि एवढ्या मोठ्या अंतरावरून परत येणारे स्पंदन मुळात टिपता येते ते त्याच गुणधर्मामुळे. निर्वातातील प्रकाशाचा वेग, सुमारे 3 × 10⁸ मीटर प्रति सेकंद, हाच तो स्थिरांक जो या काळांचे रूपांतर अंतरांत करतो; आणि खगोलशास्त्रातली मोठी एककेही तोच पुरवतो : चंद्रावरून प्रकाश सुमारे 1.28 सेकंदांत येतो, सूर्यावरून सुमारे 8 मिनिटे 20 सेकंदांत, आणि एक प्रकाशवर्ष म्हणजे प्रकाश वर्षभरात कापणारे अंतर, सुमारे 9.46 × 10¹⁵ मीटर. खगोलीय एकक म्हणजे पृथ्वी-सूर्य यांचे सरासरी अंतर, सुमारे 1.496 × 10¹¹ मीटर.
हा शालेय पाठ्यपुस्तकातला एकके व मापन या प्रकरणातला प्रमाण प्रश्न असून त्याचे आकडे जसेच्या तसे घेतले आहेत. एमपीएससी असे प्रश्न वापरते, कारण ते एका ओळीच्या हिशेबात तीन वेगवेगळ्या गोष्टी तपासतात : उमेदवार जाण्या-येण्याचा काळ निम्मा करतो का, त्याच्याकडे प्रकाशाचा वेग आहे का, आणि वैज्ञानिक मांडणीत मीटर व किलोमीटर यांच्यात रूपांतर करता येते का. या पर्यायसंचाची रचना नेमकी तिसऱ्या गोष्टीभोवती आहे. दोन ओळी मीटरमध्ये आणि दोन किलोमीटरमध्ये आहेत — आणि प्रश्न याविषयी कोणताही इशारा देत नाही — शिवाय तेच सार्थ अंक वेगवेगळ्या एकक-पद्धतींतल्या ओळींत पुन्हा येतात : 3.84 समोर 38.4 आणि 7.68 समोर 76.8. हिशेब बरोबर करूनही नुसत्या अंकांवरून ओळ जुळवणारा उमेदवार हा प्रश्न गमावू शकतो. यापासून वाचवणारा नियम साधा आहे आणि सवयीचा करून घेण्याजोगा : हिशेब एका एककात पूर्ण करावा, आणि मग प्रत्येक पर्याय त्याच एककात आणून तुलना करावी; आपले उत्तर आकर्षक वाटणाऱ्या ओळीच्या एककात नेऊ नये. या पेपरातल्या ज्या ज्या प्रश्नांत पर्यायांची एकके मिसळलेली आहेत तिथे तोच नियम लागू होतो आणि त्याला जेमतेम पंधरा सेकंद लागतात. छपाईची नोंद : घात वरच्या बाजूला लहान अक्षरांत छापले आहेत आणि इथे ते तसेच दिले आहेत; तसेच या प्रश्नाचे पर्याय दोन्ही भाषांच्या स्तंभांत तंतोतंत सारखेच आहेत, कारण ते नुसते आकडे व एकके आहेत.
- लेसर रेंजिंगमध्ये नोंदवलेला काळ जाण्या-येण्याचा असतो, म्हणून तो आधी निम्मा करावा लागतो : 2.56 सेकंदांची फेरी म्हणजे एका बाजूचा 1.28 सेकंदांचा प्रवास, आणि 3 × 10⁸ × 1.28 = 3.84 × 10⁸ मीटर हे पृथ्वी-चंद्र अंतर.
- 3.84 × 10⁸ मीटर म्हणजेच 3.84 × 10⁵ किलोमीटर, आणि हेच पृथ्वी-चंद्र अंतराचे स्वीकृत सरासरी मूल्य आहे; एक किलोमीटर म्हणजे 10³ मीटर असल्याने ती एकच संख्या दोन एककांत लिहिलेली आहे.
- या प्रश्नाच्या पर्यायांत एकके मिसळलेली आहेत — दोन ओळी मीटरमध्ये आणि दोन किलोमीटरमध्ये — आणि किलोमीटरमधल्या दोन्ही ओळी 3.84 × 10⁶ कि.मी. व 7.68 × 10⁶ कि.मी. अशी मूल्ये देतात, म्हणजे संबंधित मीटर-मूल्यांच्या नेमक्या दहापट.
- प्रकाश चंद्रावरून पृथ्वीवर सुमारे 1.28 सेकंदांत आणि सूर्यावरून सुमारे 8 मिनिटे 20 सेकंदांत येतो; एक प्रकाशवर्ष सुमारे 9.46 × 10¹⁵ मीटर आणि एक खगोलीय एकक सुमारे 1.496 × 10¹¹ मीटर आहे.
- सोनार ध्वनीने, रडार रेडिओ लहरींनी आणि लेसर रेंजिंग प्रकाशाने — तिन्ही पद्धती एकाच तत्त्वावर चालतात, आणि चंद्रावर अपोलो अंतराळवीरांनी व सोव्हिएत लुनोखोद यानांनी ठेवलेले प्रतिक्षेपक प्रकाश आल्या दिशेनेच परत पाठवतात, म्हणून परतणारे स्पंदन टिपता येते.
एकके व मापन या भागातला हा नेहमीचा पाठ्यपुस्तकी प्रश्न आहे, आणि गणिताच्या एकाच ओळीत तो तीन वेगळ्या गोष्टी तपासतो : जाऊन-येऊनचा काळ निम्मा केला का, प्रकाशाचा वेग लक्षात आहे का, आणि वैज्ञानिक संकेतनात मीटर व किलोमीटरचे रूपांतर करता येते का. पर्यायांचा संच तिसऱ्या गोष्टीभोवतीच बांधला आहे, आणि म्हणूनच गणित बरोबर करूनही गुण जाऊ शकतो — मीटरमध्ये उत्तर काढून नुसत्या अंकांवरून जुळवायला गेले, की अपेक्षित अंक ल्यालेली किलोमीटरची ओळ तिथेच वाट पाहत असते. यापासून वाचवणारा नियम असा : गणित एकाच एककात संपवावे आणि मग छापलेली प्रत्येक ओळ त्याच एककात आणून तुलना करावी; स्वतःचे उत्तर आशादायक दिसणाऱ्या ओळीच्या एककात नेऊ नये. यात जेमतेम पंधरा सेकंद जातात आणि हा नियम या पेपरांतल्या प्रत्येक मिश्र-एकक प्रश्नाला लागू होतो. मापन मात्र खरेखुरे आहे : अपोलो मोहिमेतल्या अंतराळवीरांनी आणि सोव्हिएत लुनोखोद गाड्यांनी चंद्रावर ठेवलेल्या परावर्तक संचांमुळेच चंद्रापर्यंतचे लेसर मापन शक्य होते, आणि ते इतके अचूक आहे की चंद्र दरवर्षी काही सेंटिमीटरने पृथ्वीपासून दूर जात आहे हे त्यातूनच कळले आहे.
- जाण्या-येण्याचा काळ निम्मा न करणे — प्रतिध्वनीवर आधारलेल्या प्रत्येक प्रश्नातली सर्वांत नेहमीची चूक हीच आहे.
- पर्यायांची एकके मिसळलेली आहेत हे न पाहता नुसत्या सार्थ अंकांवरून ओळ जुळवणे.
- वैज्ञानिक मांडणीत अंकाचा भाग 1 आणि 10 यांच्या दरम्यान न आणणे, ज्यामुळे 38.4 × 10⁵ आणि 3.84 × 10⁵ यांतली दहापटीची तफावत नजरेतून सुटते.
- आपले उत्तर आकर्षक वाटणाऱ्या ओळीच्या एककात नेणे, ऐवजी प्रत्येक ओळ आपल्या एककात आणून तपासणे.
- उत्तराचा भौतिक अर्थ न तपासणे — चंद्रावरून प्रकाश सुमारे 1.28 सेकंदांत येतो हे लक्षात असले की खूप मोठे उत्तर लगेच बाद होते.
एकके व मापन हा भाग एमपीएससीच्या विज्ञान विभागात तीन आकारांत येतो. पहिला आकार म्हणजे इथे विचारला गेला तसा प्रतिध्वनी-पद्धतीचा हिशेब — सोनार, रडार किंवा लेसर — ज्यात काळ निम्मा करण्याची पायरी हा मुख्य सापळा असतो. दुसरा आकार एकक-रूपांतराचा असतो, ज्यात पर्यायांत मुद्दाम वेगवेगळी एकके ठेवली जातात आणि तेच सार्थ अंक दोन ओळींत दिसतात. तिसरा आकार खगोलीय एककांचा — प्रकाशवर्ष हे अंतराचे एकक आहे की काळाचे, खगोलीय एकक कशाचे माप आहे, सूर्यप्रकाश पृथ्वीवर किती वेळात पोहोचतो. या तिन्ही आकारांसाठी दोन सवयी पुरतात : वैज्ञानिक मांडणीत लिहिताना अंकाचा भाग नेहमी 1 आणि 10 यांच्या दरम्यान ठेवावा, आणि तुलना करण्यापूर्वी सर्व पर्याय एकाच एककात आणावेत.
या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
चंद्रावरून परावर्तित होऊन परत आलेल्या लेसर स्पंदनाला 2.56 सेकंद लागतात. या माहितीवरून पृथ्वी-चंद्र अंतर काढताना पहिली पायरी कोणती ?
- (a)2.56 सेकंदांना प्रकाशाच्या वेगाने गुणणे
- (b)2.56 सेकंद निम्मे करून 1.28 सेकंद घेणे
- (c)2.56 सेकंदांना दोनने गुणणे
- (d)2.56 सेकंदांना प्रकाशाच्या वेगाने भागणे
उत्तर(b) 2.56 सेकंद निम्मे करून 1.28 सेकंद घेणे — नोंदवलेला काळ जाण्या-येण्याच्या संपूर्ण प्रवासाचा असतो, म्हणून एका बाजूचे अंतर काढण्यासाठी तो आधी निम्मा करावा लागतो आणि मगच प्रकाशाच्या वेगाने गुणायचा असतो : 3 × 10⁸ × 1.28 = 3.84 × 10⁸ मीटर. संपूर्ण काळाला थेट वेगाने गुणले तर 7.68 × 10⁸ मीटर, म्हणजे जाण्या-येण्याचे एकूण अंतर मिळते. हीच पायरी सोनार व रडारच्या प्रश्नांतही लागते.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
3.84 × 10⁸ मीटर हे अंतर किलोमीटरमध्ये किती होते ?
- (a)3.84 × 10⁵ कि.मी.
- (b)3.84 × 10⁶ कि.मी.
- (c)3.84 × 10¹¹ कि.मी.
- (d)38.4 × 10⁶ कि.मी.
उत्तर(a) 3.84 × 10⁵ कि.मी. — एक किलोमीटर म्हणजे 10³ मीटर, म्हणून मीटरमधली संख्या किलोमीटरमध्ये आणताना घातातून तीन वजा करावे लागतात : 10⁸ चे 10⁵ होते. हेच पृथ्वी-चंद्र अंतराचे स्वीकृत सरासरी मूल्य आहे. वैज्ञानिक मांडणीत अंकाचा भाग 1 आणि 10 यांच्या दरम्यान ठेवला की 38.4 × 10⁶ सारखी रूपे लगेच उघडी पडतात आणि दहापटीची चूक टळते.