MPSC 2021 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 55 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (2) — 40.83 W. इथली साखळी छोटी आहे आणि तिचा प्रत्येक दुवा एक व्याख्या आहे. एखादे वस्तुमान वर उचलताना गुरुत्वाविरुद्ध केलेले कार्य म्हणजे बल गुणिले बलाच्या दिशेने झालेले विस्थापन; लागणारे बल म्हणजे वजन, आणि वजन म्हणजे वस्तुमान गुणिले गुरुत्वीय त्वरण. म्हणून कार्य W = mgh. शक्ती म्हणजे कार्य होण्याचा दर, म्हणजे P = W / t, आणि तिचे एसआय एकक वॅट असून एक वॅट म्हणजे एक ज्यूल प्रति सेकंद. प्रश्नातली मूल्ये भरा आणि g = 9.8 ms⁻² घ्या : कार्य 25 × 9.8 × 5 = 1225 ज्यूल, आणि शक्ती 1225 ÷ 30 = 40.83 वॅट. एवढाच संपूर्ण हिशेब आहे, आणि या दोन पायऱ्यांपैकी प्रत्येक पायरी एका चुकीच्या पर्यायाशी जुळते — पर्यायांचा संच नेमका त्याच रीतीने बांधला आहे. गणिताविषयी दोन गोष्टी लक्षात घेण्याजोग्या आहेत. पहिली : उत्तर g च्या मूल्याबाबत फारसे संवेदनशील नाही. g = 10 ms⁻² घेतले तर कार्य 25 × 10 × 5 = 1250 ज्यूल आणि शक्ती 1250 ÷ 30 = 41.67 वॅट येते, जी त्याच पर्यायाच्या सर्वांत जवळ आहे. त्यामुळे सवयीने g गोल करणाऱ्या उमेदवाराला इथे काळजी करण्याचे कारण नाही. दुसरी : आकड्याचा आकार भौतिकदृष्ट्या सुसंगत आहे. चाळीस वॅट हा माणसाच्या क्षमतेतला अगदी माफक दर आहे — जुन्या तापदीप्त बल्बएवढा, आणि एका अश्वशक्तीच्या (746 वॅट) साधारण विसाव्या भागाएवढा — आणि ओझे घेऊन पाच मीटर चढायला पूर्ण अर्धा मिनिट घेणाऱ्या माणसाकडून तेवढ्याचीच अपेक्षा असते. ज्याचे उत्तर शेकडो किंवा हजारो वॅटांत येते, त्याने त्या माणसाला छोट्या मोटरएवढे काम करायला लावले आहे; एवढी एक तपासणीच तीनपैकी दोन चुकीच्या ओळी बाद करते. म्हणून विचारलेली शक्ती 40.83 वॅट आहे, आणि ती पर्याय (2) मध्ये छापली आहे. प्रश्नाच्या मांडणीची एक नोंद : मराठी स्तंभात '25 किलो वजनाची बॅग' असे लिहिले आहे, म्हणजे रोजच्या भाषेप्रमाणे वस्तुमानालाच वजन म्हटले आहे. भौतिकशास्त्रात वस्तुमान किलोग्रॅममध्ये आणि वजन न्यूटनमध्ये मोजतात, आणि हिशेब करताना 25 हा आकडा वस्तुमान म्हणूनच घ्यायचा असतो.

• (1)1225 W — हा आकडा कार्य आहे, शक्ती नाही, आणि एक पायरी आधीच थांबणाऱ्या उमेदवाराचे हे उत्तर असते. 25 किलोग्रॅम वस्तुमान गुरुत्वाविरुद्ध 5 मीटर वर नेण्यासाठी 25 × 9.8 × 5 = 1225 ज्यूल एवढे कार्य लागते, आणि तेवढ्यापुरता हा आकडा बरोबरही आहे; चुकले आहे ते त्याला लावलेले नाव. शक्ती म्हणजे कार्य भागिले लागलेला वेळ, आणि प्रश्नात छापलेल्या तीस सेकंदांचा इथे वापरच झालेला नाही. एकक हेच सर्वांत मोठे सूचक आहे : कार्य ज्यूलमध्ये आणि शक्ती वॅटमध्ये मोजतात, त्यामुळे 1225 या आकड्यापुढे W लिहिलेले पाहून लगेच शंका यायला हवी. हिशेब करताना प्रत्येक ओळीत एकके सोबत न्यावीत आणि उत्तर निवडण्यापूर्वी प्रश्नात दिलेला प्रत्येक आकडा वापरला गेला आहे का हे तपासावे — इथे तीस सेकंद न वापरता आलेले उत्तर त्याच तपासणीत पडते.
• (3)1.64 W — हाच हिशेब वस्तुमान गाळून केला की हे उत्तर मिळते — 1 × 9.8 × 5 ÷ 30 म्हणजे सुमारे 1.63 — म्हणजे प्रश्नातल्या पंचवीस किलोग्रॅमऐवजी एक किलोग्रॅम उचलण्यासाठी लागणारी शक्ती. दुसऱ्या शब्दांत, हे बरोबर उत्तर भागिले 25 आहे. ही चूक सहसा अशी होते : उमेदवार P = mgh / t हे सूत्र बरोबर मांडतो, त्यात g, h आणि t भरतो, आणि m मात्र भरायचा राहून जातो — कधी वस्तुमान वजनातच धरले गेले असावे असे समजून, तर कधी नुसत्या घाईने. भौतिकदृष्ट्या हे उत्तर लगेच बाद होते : दीड वॅट म्हणजे माणसाने अर्ध्या मिनिटात केलेले काम एका लहानशा दिव्याच्याही खूप खाली नेणारा दर आहे. सूत्रात भरलेले आकडे एकदा मोजून पाहावेत — प्रश्नाने दिलेले चार आकडे हिशेबात दिसले पाहिजेत.
• (4)245 W — हा आकडा ओझ्याचे वजन आहे — 25 किलोग्रॅम × 9.8 ms⁻² = 245 न्यूटन — आणि त्याच्यापुढे चुकीचे एकक लिहिले आहे. हिशेबातली ही पहिली मधली राशी असून ती उंची आणि वेळ यांचा वापर होण्यापूर्वीच मिळते; म्हणजे हे उत्तर प्रश्नाने दिलेल्या चार आकड्यांपैकी दोन आकडे वापरतच नाही. चुकीच्या नावामुळेच हा पर्याय विश्वासार्ह वाटतो : 245 हा आकडा प्रश्नातून खरोखर निघतो, आणि तो काढून ठेवलेला उमेदवार पर्यायांत तोच दिसताच त्याला उत्तर मानतो. इथेही एकक वाचले की चूक उघड होते — वजन न्यूटनमध्ये मोजतात, वॅटमध्ये नाही. उत्तर निवडण्यापूर्वी त्याचे एकक प्रश्नाने मागितलेल्या राशीशी जुळते का हे पाहणे ही या प्रकारच्या प्रश्नांतली सर्वांत स्वस्त तपासणी आहे.

कार्य, ऊर्जा आणि शक्ती हे व्याख्यांचे एक छोटे कुटुंब आहे, ज्याकडे एमपीएससी सतत परत येते; आणि ती तिन्ही वेगळी ठेवण्याचा सर्वांत भरवशाचा मार्ग म्हणजे त्यांची एकके वेगळी ठेवणे. बल आपल्या उपयोजन बिंदूला हलवते तेव्हा कार्य घडते, आणि ते बल गुणिले बलाच्या दिशेने झालेले विस्थापन एवढे असते; त्याचे एकक ज्यूल, म्हणजे एक न्यूटन-मीटर. गतीला लंब असलेल्या बलाकडून भौतिकशास्त्राच्या अर्थाने कार्य होत नाही, आणि जड बॅग हातात धरून जागच्या जागी उभा राहणारा माणूस कितीही थकला तरी त्याच्याकडूनही कार्य होत नाही, कारण बलाच्या दिशेने काहीच सरकत नाही. ऊर्जा म्हणजे कार्य करण्याची क्षमता आणि ती त्याच एककात मोजतात; तिची सर्वांत आधी भेटणारी दोन रूपे म्हणजे गतिज ऊर्जा ½mv² आणि पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळची गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा mgh. वस्तुमान वर उचलताना कार्याचे रूपांतर स्थितिज ऊर्जेत होते, म्हणूनच या प्रश्नातले कार्य ओझ्याच्या स्थितिज ऊर्जेतल्या वाढीएवढेच भरते. शक्ती म्हणजे कार्य होण्याचा किंवा ऊर्जा हस्तांतरित होण्याचा दर; ती वॅटमध्ये मोजतात, आणि एक वॅट म्हणजे एक ज्यूल प्रति सेकंद. व्यवहारातली मोठी एकके म्हणजे किलोवॉट आणि अश्वशक्ती, जी सुमारे 746 वॅट आहे. वीजबिलावर दिसणारे किलोवॉट-तास हे मात्र शक्तीचे एकक नसून ऊर्जेचे आहे : एक किलोवॉट एक तासभर टिकवला असता होणारी ऊर्जा, म्हणजे 36 लाख ज्यूल. दर आणि एकूण राशी यांतला हा भेद विज्ञान विभागातल्या प्रश्नांत वारंवार तपासला जातो.

एमपीएससीच्या प्रत्येक पूर्वपरीक्षेच्या पेपरात विज्ञान विभागात मोजके एक-पायरी अंकगणिती प्रश्न असतात आणि ते असे बांधलेले असतात की गणित मनातल्या मनात किंवा एका ओळीत करता यावे. तपासले जाते ते हिशेब करण्याचे कौशल्य नव्हे, तर प्रश्न कोणती राशी विचारतो आहे आणि ती कोणत्या सूत्रातून निघते हे उमेदवाराला ओळखता येते का. म्हणून अशा नीट बांधलेल्या प्रश्नाचे पर्याय बरोबर हिशेबातल्या मधल्या निष्कर्षांतूनच तयार केलेले असतात, आणि हा प्रश्न त्याचे उत्तम उदाहरण आहे : 245 हे वजन, 1225 हे कार्य, 1.64 ही एका किलोग्रॅमपुरती शक्ती, आणि 40.83 हीच खरी शक्ती. चारांपैकी तीन ओळी प्रश्नातूनच निघालेले खरे आकडे असून त्यांना चुकीचे एकक लावलेले आहे. यातून घ्यायचा धडा असा : नुसते आकडे मोजून शेवटी त्यांना नाव लावण्याऐवजी प्रत्येक ओळीत एकके सोबत न्यावीत, आणि पर्याय निवडण्यापूर्वी प्रश्नात छापलेला प्रत्येक आकडा हिशेबात वापरला गेला आहे का हे पाहावे. छपाईचीही नोंद : मराठी स्तंभात '25 किलो वजनाची बॅग' असे रोजच्या भाषेतले रूप छापले आहे, तर भौतिकशास्त्रात वस्तुमान किलोग्रॅममध्ये आणि वजन न्यूटनमध्ये मोजतात; प्रश्न जसा छापला आहे तसाच इथे दिला आहे आणि हिशेबात 25 हा आकडा वस्तुमान म्हणून घेतला आहे.

• गुरुत्वाविरुद्ध वस्तुमान उचलताना केलेले कार्य W = mgh असते आणि ते ज्यूलमध्ये मोजतात; शक्ती म्हणजे कार्य होण्याचा दर, P = W / t, आणि ती वॅटमध्ये मोजतात, जिथे एक वॅट म्हणजे एक ज्यूल प्रति सेकंद.
• या प्रश्नात g = 9.8 ms⁻² घेतल्यास कार्य 25 × 9.8 × 5 = 1225 ज्यूल आणि शक्ती 1225 ÷ 30 = 40.83 वॅट येते; g = 10 ms⁻² घेतले तरी उत्तर 41.67 वॅट येऊन त्याच पर्यायाच्या जवळ राहते.
• एक अश्वशक्ती सुमारे 746 वॅट आहे, म्हणजे या प्रश्नातला 40.83 वॅट हा दर एका अश्वशक्तीच्या साधारण विसाव्या भागाएवढा आणि माणसाच्या क्षमतेत नेमका बसणारा आहे.
• किलोवॉट-तास हे शक्तीचे नव्हे तर ऊर्जेचे एकक आहे — एक किलोवॉट एक तासभर टिकवला असता होणारी ऊर्जा, म्हणजे 36 लाख ज्यूल — आणि वीजबिलावर हेच एकक वापरले जाते.
• जड ओझे हातात धरून जागच्या जागी उभा राहणारा माणूस भौतिकशास्त्राच्या अर्थाने कार्य करत नाही, कारण बलाच्या दिशेने विस्थापन होत नाही; तसेच गतीला लंब असलेल्या बलाकडूनही कार्य होत नाही.

• कार्य काढून तिथेच थांबणे आणि तो आकडा शक्ती म्हणून निवडणे — प्रश्नात दिलेला वेळ वापरला गेला आहे का हे तपासले की ही चूक पकडली जाते.
• सूत्र बरोबर मांडूनही त्यात वस्तुमान भरायचे विसरणे, ज्यातून एका किलोग्रॅमपुरते उत्तर मिळते.
• मधली राशी — इथे 245 न्यूटन एवढे वजन — उत्तर म्हणून निवडणे, कारण तो आकडा प्रश्नातूनच निघालेला असल्याने ओळखीचा वाटतो.
• उत्तराचे एकक प्रश्नाने मागितलेल्या राशीशी जुळते का हे न पाहणे; कार्य ज्यूलमध्ये, वजन न्यूटनमध्ये आणि शक्ती वॅटमध्ये मोजतात.
• उत्तराचा आकार वास्तवात बसतो का हे न तपासणे — माणसाची शक्ती शेकडो वॅटांत आली की तो छोट्या मोटरएवढे काम करतो आहे असे ठरते.

कार्य, ऊर्जा व शक्ती एमपीएससीच्या विज्ञान विभागात तीन आकारांत येतात. पहिला आकार म्हणजे इथे विचारला गेला तसा एक-पायरी हिशेब, ज्यात वस्तुमान, उंची व वेळ देऊन शक्ती किंवा कार्य विचारले जाते आणि चुकीचे पर्याय त्याच हिशेबातल्या मधल्या राशींतून बांधलेले असतात. दुसरा आकार एककांचा — कोणती राशी कोणत्या एककात, आणि किलोवॉट-तास हे ऊर्जेचे एकक आहे की शक्तीचे — आणि हा आकार वीजबिलासारख्या रोजच्या संदर्भातूनही विचारला जातो. तिसरा आकार संकल्पनेचा : जड ओझे धरून उभे राहिल्यास कार्य होते का, वर्तुळाकार गतीत केंद्राभिमुख बलाकडून कार्य होते का, यंत्राची कार्यक्षमता शंभर टक्के का असू शकत नाही. तिन्ही आकारांसाठी एकच सवय पुरते : व्याख्या सूत्रासह लिहावी, प्रत्येक ओळीत एकके सोबत न्यावीत, आणि शेवटी उत्तराचा आकार वास्तवात बसतो का हे एका वाक्यात तपासावे.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  शक्तीच्या एककाविषयी खालीलपैकी कोणते विधान बरोबर आहे ?

  • (a)एक वॅट म्हणजे एक ज्यूल प्रति सेकंद
  • (b)एक वॅट म्हणजे एक न्यूटन प्रति सेकंद
  • (c)एक वॅट म्हणजे एक ज्यूल गुणिले एक सेकंद
  • (d)एक वॅट म्हणजे एक किलोवॉट-तास

  उत्तर(a) एक वॅट म्हणजे एक ज्यूल प्रति सेकंद — शक्ती ही कार्य होण्याचा दर असल्याने तिचे एकक ऊर्जेच्या एककाला वेळेच्या एककाने भागून मिळते. न्यूटन हे बलाचे एकक आहे, ज्यूल गुणिले सेकंद ही राशी वेगळीच आहे, आणि किलोवॉट-तास हे शक्तीचे नव्हे तर ऊर्जेचे एकक असून ते एक किलोवॉट एक तासभर टिकवल्यास होणारी ऊर्जा, म्हणजे 36 लाख ज्यूल, दर्शवते.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  एक माणूस 50 किलोग्रॅम वस्तुमानाचे ओझे 4 मीटर उंचीवर 20 सेकंदांत नेतो. g = 10 ms⁻² घेतल्यास त्याने वापरलेली शक्ती किती ?

  • (a)2000 W
  • (b)200 W
  • (c)100 W
  • (d)40 W

  उत्तर(c) 100 W — कार्य W = mgh = 50 × 10 × 4 = 2000 ज्यूल, आणि शक्ती P = W / t = 2000 ÷ 20 = 100 वॅट. इथे 2000 हा आकडा कार्य आहे, शक्ती नाही, आणि तो पर्यायांत मुद्दाम ठेवलेला असतो; वेळ वापरली गेली आहे का एवढी एक तपासणी त्याला बाद करते.