जर प्रकाश पहिल्या माध्यमातून 2 × 10⁸ ms⁻¹ वेगाने जाताना दुसऱ्या माध्यमात त्याचा वेग 1.25 × 10⁸ ms⁻¹ होत असेल तर दुसऱ्या माध्यमाचा पहिल्या माध्यमाच्या संदर्भातील अपवर्तनांक काढा.
- (1)2.5
- (2)1.33
- (3)1.6
- (4)0.625
बरोबर उत्तर पर्याय (3) — 1.6. दुसऱ्या माध्यमाचा पहिल्या माध्यमाच्या संदर्भातील अपवर्तनांक म्हणजे पहिल्या माध्यमातील प्रकाशाचा वेग भागिले दुसऱ्या माध्यमातील प्रकाशाचा वेग. म्हणजे वेगांचा क्रम माध्यमांच्या क्रमाच्या उलट असतो, आणि हा संपूर्ण हिशेब नेमका त्याच एका गोष्टीवर फिरतो. दुसऱ्या माध्यमाचा पहिल्याच्या संदर्भातील अपवर्तनांक n₂₁ असे लिहिले तर n₂₁ = v₁ / v₂. प्रश्नात दिलेली मूल्ये भरली की v₁ = 2 × 10⁸ ms⁻¹ आणि v₂ = 1.25 × 10⁸ ms⁻¹, म्हणजे n₂₁ = 2 × 10⁸ भागिले 1.25 × 10⁸. दहाचे घात एकमेकांशी छेदले जातात आणि उरते 2 भागिले 1.25, म्हणजे 1.6. सापेक्ष घनतेप्रमाणेच अपवर्तनांक हेही दोन सारख्या राशींचे गुणोत्तर असल्याने त्याला कोणतेही एकक नसते. या उत्तरावर फुकटात करता येणारी एक तपासणी आहे आणि ती हा प्रश्न गमावण्याचे बहुतेक मार्ग रोखते. दुसऱ्या माध्यमात शिरताना प्रकाशाचा वेग 2 × 10⁸ वरून 1.25 × 10⁸ मीटर प्रति सेकंदावर घटतो, म्हणजे दुसरे माध्यम पहिल्यापेक्षा प्रकाशकीयदृष्ट्या दाट आहे; आणि विरळ माध्यमाच्या संदर्भातील दाट माध्यमाचा अपवर्तनांक 1 पेक्षा मोठाच असला पाहिजे. त्यामुळे 1 पेक्षा लहान असलेले कोणतेही उत्तर गणित करण्याआधीच बाद होते. दुसरी आणि अधिक समाधान देणारी तपासणी निरपेक्ष अपवर्तनांकांतून येते. एखाद्या माध्यमाचा निरपेक्ष अपवर्तनांक म्हणजे निर्वातातील प्रकाशाचा वेग भागिले त्या माध्यमातील वेग. निर्वातातील वेग 3 × 10⁸ ms⁻¹ घेतला तर पहिल्या माध्यमाचा निरपेक्ष अपवर्तनांक 3 ÷ 2 = 1.5 येतो, जो साध्या काचेच्या जवळपासचा आकडा आहे; आणि दुसऱ्या माध्यमाचा 3 ÷ 1.25 = 2.4 येतो, जो हिऱ्याच्या जवळपासचा आहे. मग सापेक्ष अपवर्तनांक n₂₁ = n₂ / n₁ = 2.4 ÷ 1.5 = 1.6 असा वेगळ्या वाटेने तोच निघतो, आणि प्रश्नातली दोन माध्यमे मनाने घेतलेली नसून वास्तवातली जोडी असल्याचेही दिसते. म्हणून विचारलेले मूल्य 1.6 आहे, आणि ते पर्याय (3) मध्ये छापले आहे.
- (1)2.5 — दोन वेगांच्या भागाकाराऐवजी त्यांच्या अंकांचा गुणाकार केला की हेच उत्तर मिळते : 2 गुणिले 1.25 बरोबर 2.5. ही गणिताची नव्हे तर क्रियेची चूक आहे, आणि अपवर्तनांकात दोन वेग येतात एवढे लक्षात असलेल्या पण ते कसे जोडायचे हे लक्षात नसलेल्या उमेदवाराकडून ती होते. व्याख्या गुणोत्तराची आहे, आणि तेच नाते स्नेलच्या नियमातूनही निघते : n₁ sin i = n₂ sin r, म्हणजे n₂₁ = n₂ / n₁ = sin i / sin r = v₁ / v₂ — एकाच गुणोत्तराची तीन समान रूपे. शिवाय या उत्तराची तपासणीही सोपी आहे : प्रकाशाचा वेग दुसऱ्या माध्यमात 1.6 पट कमी झाला आहे, त्यामुळे अपवर्तनांक 1.6 च्या आसपास असणे अपेक्षित आहे आणि 2.5 हे मूल्य त्या मानाने खूप मोठे आहे. सूत्र चिन्हांत लिहून मगच आकडे भरण्याची सवय ही चूक टाळते.
- (2)1.33 — प्रश्नातल्या दोन वेगांतून हे मूल्य कोणत्याही प्रकारे निघतच नाही : 2 × 10⁸ आणि 1.25 × 10⁸ यांच्या कोणत्याही जोडणीतून 1.33 येत नाही. हा पर्याय तिथे आहे कारण या प्रकरणातला सर्वाधिक पाठ केलेला आकडा तोच आहे — हवेच्या संदर्भातील पाण्याचा अपवर्तनांक, म्हणजे चार तृतीयांश. आकडे वाचण्याआधीच प्रश्नाचा आकार ओळखणारा उमेदवार हा परिचित आकडा उचलतो आणि तो आपल्याच प्रश्नाचे उत्तर असल्यासारखा निवडतो. संख्यात्मक प्रश्नात दिलेल्या आकड्यांशी संबंध नसलेला पण अभ्यासक्रमातला प्रसिद्ध स्थिरांक पर्यायांत ठेवणे हा परीक्षकांचा नेहमीचा डाव आहे. उपाय एकच : उत्तर प्रश्नातल्या आकड्यांतून प्रत्यक्ष काढल्याशिवाय कोणताही ओळखीचा आकडा निवडायचा नाही.
- (4)0.625 — हे गुणोत्तर उलट्या दिशेने घेतल्याचे उत्तर आहे : 1.25 भागिले 2 बरोबर 0.625. हे मूल्य निरर्थक नाही — तो दुसऱ्या माध्यमाच्या संदर्भातील पहिल्या माध्यमाचा अपवर्तनांक n₁₂ आहे, आणि ही दोन मूल्ये एकमेकांची व्यस्त संख्या असल्याने n₂₁ × n₁₂ = 1 होते; प्रत्यक्षात 1.6 गुणिले 0.625 बरोबर 1 आहेच. चूक फक्त एवढीच की प्रश्नाने यांपैकी कोणता अपवर्तनांक मागितला होता ते वाचलेले नाही, आणि प्रश्न त्याबाबत स्पष्ट आहे — दुसऱ्या माध्यमाचा पहिल्या माध्यमाच्या संदर्भातील अपवर्तनांक. शिवाय भौतिक तपासणीही हे उत्तर लगेच बाद करते : दुसऱ्या माध्यमात प्रकाशाचा वेग घटतो, म्हणजे ते दाट माध्यम आहे, आणि दाट माध्यमाचा विरळ माध्यमाच्या संदर्भातील अपवर्तनांक 1 पेक्षा मोठा असलाच पाहिजे. 1 पेक्षा लहान उत्तर आले की गुणोत्तराची दिशा तपासावी.
प्रकाश निर्वातात सर्वाधिक वेगाने — सुमारे 3 × 10⁸ मीटर प्रति सेकंद — जातो आणि कोणत्याही भौतिक माध्यमात त्याहून हळू जातो. एखाद्या माध्यमाचा निरपेक्ष अपवर्तनांक म्हणजे निर्वातातील प्रकाशाचा वेग भागिले त्या माध्यमातील वेग; त्यामुळे तो नेहमी 1 पेक्षा मोठा असतो आणि ज्या माध्यमात प्रकाश अधिक हळू जातो त्याचा तो अधिक असतो. प्रकाश एका माध्यमातून दुसऱ्यात जाताना सीमेवर दिशा बदलतो, आणि त्या वळणाचे नियमन करणारा नियम म्हणजे स्नेलचा नियम : n₁ sin i = n₂ sin r, जिथे i हा आपाती कोन व r हा अपवर्तित कोन असून दोन्ही स्तंभिकेपासून मोजतात. याची पुनर्मांडणी केली की पहिल्या माध्यमाच्या संदर्भातील दुसऱ्या माध्यमाचा अपवर्तनांक n₂₁ = n₂ / n₁ = sin i / sin r = v₁ / v₂ अशी तीन समान रूपे मिळतात. दाट माध्यमात शिरताना प्रकाश स्तंभिकेकडे वळतो आणि विरळ माध्यमात शिरताना स्तंभिकेपासून दूर वळतो. दुसऱ्या प्रकाराला एक मर्यादा आहे : दाट माध्यमातून विरळ माध्यमाकडे जाणारा प्रकाश एका ठरावीक आपाती कोनापलीकडे अपवर्तित होऊन बाहेर पडतच नाही, तो पूर्णपणे मागे परावर्तित होतो. या कोनाला क्रांतिक कोन म्हणतात आणि तो sin C = 1 / n या संबंधाने मिळतो, आणि या घटनेला संपूर्ण अंतर्गत परावर्तन म्हणतात. प्रकाशीय तंतू संदेश वाहून नेतात ते याच घटनेमुळे; हिरा चमकतो तोही याच कारणाने — हिऱ्याचा सुमारे 2.42 एवढा मोठा अपवर्तनांक त्याचा क्रांतिक कोन जेमतेम 24 अंशांवर आणतो — आणि तापलेल्या रस्त्यावर दिसणारे मृगजळही यातूनच तयार होते. अपवर्तनांक प्रकाशाच्या तरंगलांबीनुसार किंचित बदलतो, आणि त्यामुळेच लोलकातून पांढऱ्या प्रकाशाचे विभाजन होऊन वर्णपट मिळतो.
एमपीएससीच्या विज्ञान विभागात प्रकाशशास्त्रावरचे एक-दोन छोटे प्रश्न नेहमी असतात आणि ते दोन प्रकारचे असतात : याच प्रकारचा एक-पायरी अंकगणिती प्रश्न, आणि संपूर्ण अंतर्गत परावर्तन, विभाजन किंवा प्रतिमानिर्मिती यांवरचा संकल्पनात्मक प्रश्न. अंकगणिती प्रश्नाची रचना अशी असते की गणित अगदी सोपे ठेवलेले असते आणि गुण व्याख्या योग्य क्रमाने लक्षात आहे का यावर अवलंबून असतात. म्हणूनच इथल्या पर्यायांत बरोबर भागाकार, उलटा भागाकार, गुणाकार आणि एक प्रसिद्ध स्थिरांक अशा चार ओळी आहेत — एका व्याख्येची चुकीची हाताळणी करण्याचे सर्व मार्ग त्या मिळून व्यापतात. या आकाराचा प्रश्न भेटला की आकडे भरण्याआधी व्याख्या चिन्हांत लिहून काढावी, कारण गुणोत्तराची दिशा वेळेच्या दडपणाखाली डोक्यात ठेवण्यापेक्षा कागदावर ठेवणे कितीतरी सोपे असते. छपाईचीही नोंद घ्यावी : प्रश्नात दहाचे घात आणि ms⁻¹ हे एकक वरच्या बाजूला लहान अक्षरांत छापले आहेत आणि इथे ते तसेच दिले आहेत. हे घात नीट वाचणे दिसते त्यापेक्षा अधिक महत्त्वाचे आहे, कारण या विशिष्ट प्रश्नात दोन्ही घात पूर्णपणे छेदले जातात आणि त्यांची चुकीची हाताळणी करणारा उमेदवार भौतिकशास्त्रात नसलेला एखादा गुणक स्वतःच तयार करून बसतो.
- पहिल्या माध्यमाच्या संदर्भातील दुसऱ्या माध्यमाचा अपवर्तनांक n₂₁ = v₁ / v₂ असतो — म्हणजे वेगांचा क्रम माध्यमांच्या क्रमाच्या उलट असतो; इथे 2 × 10⁸ भागिले 1.25 × 10⁸ बरोबर 1.6, आणि हे गुणोत्तर असल्याने त्याला एकक नाही.
- निरपेक्ष अपवर्तनांक म्हणजे निर्वातातील प्रकाशाचा वेग भागिले त्या माध्यमातील वेग; c = 3 × 10⁸ ms⁻¹ घेतल्यास इथल्या पहिल्या माध्यमाचा निरपेक्ष अपवर्तनांक 1.5 (साध्या काचेजवळ) आणि दुसऱ्याचा 2.4 (हिऱ्याजवळ) येतो, आणि 2.4 ÷ 1.5 = 1.6 असा तोच उत्तर पुन्हा मिळते.
- स्नेलचा नियम n₁ sin i = n₂ sin r असून त्यातून n₂₁ = n₂ / n₁ = sin i / sin r = v₁ / v₂ ही तीन समान रूपे मिळतात; दाट माध्यमात शिरताना प्रकाश स्तंभिकेकडे वळतो आणि विरळ माध्यमात शिरताना स्तंभिकेपासून दूर.
- ज्या माध्यमात प्रकाश हळू जातो ते प्रकाशकीयदृष्ट्या दाट माध्यम; म्हणून विरळ माध्यमाच्या संदर्भातील दाट माध्यमाचा अपवर्तनांक नेहमी 1 पेक्षा मोठा असतो आणि उलट दिशेचा अपवर्तनांक त्याची व्यस्त संख्या असते.
- दाट माध्यमातून विरळ माध्यमाकडे जाताना क्रांतिक कोनापलीकडे संपूर्ण अंतर्गत परावर्तन होते, sin C = 1 / n; हिऱ्याचा अपवर्तनांक सुमारे 2.42 असल्याने त्याचा क्रांतिक कोन जेमतेम 24 अंश आहे, आणि प्रकाशीय तंतू व मृगजळ या दोन्ही घटना याच तत्त्वावर उभ्या आहेत.
एकच व्याख्या ज्या चार प्रकारे चुकीची हाताळता येते त्यांतूनच पर्यायांचा संच बांधला आहे : बरोबर भागाकार, उलटा भागाकार, गुणाकार, आणि प्रश्नानेच आकडे दिलेले असताना स्मरणातून उचललेला एक प्रसिद्ध स्थिरांक. एकाच गुणोत्तराची तीन समतुल्य रूपे जोडीने लक्षात ठेवावीत — n₂₁ = n₂ ÷ n₁ = sin i ÷ sin r = v₁ ÷ v₂, यांतले मधले म्हणजे स्नेलचा नियम पुन्हा मांडलेला; n₂₁ आणि n₁₂ ही एकमेकांची व्यस्त रूपे आहेत आणि त्यांचा गुणाकार 1 येतो. पाठ ठेवण्याजोगी प्रमाणित मूल्ये : हवेसाठी सुमारे 1.0003, पाण्यासाठी 1.33, काचेसाठी 1.5, हिऱ्यासाठी 2.42. क्रांतिक कोन C च्या पलीकडे, जिथे sin C = 1 ÷ n, घन माध्यमातून विरळ माध्यमाकडे जाणारा प्रकाश बाहेर अपवर्तितच होत नाही तर पूर्णपणे आतल्या आत परावर्तित होतो — प्रकाशकाचतंतू, पैलू पाडलेल्या हिऱ्याचे तेज आणि तापलेल्या रस्त्यावरचे मृगजळ या तिन्हींमागचे तत्त्व तेच आहे.
- गुणोत्तराची दिशा उलटी घेणे — दुसऱ्या माध्यमाचा पहिल्याच्या संदर्भातील अपवर्तनांक म्हणजे v₁ / v₂, आणि उलट घेतले की उत्तर व्यस्त संख्या येते.
- दोन वेगांचा गुणाकार करणे, जे व्याख्या गुणोत्तराची आहे हे लक्षात नसल्याचे लक्षण असते.
- आकडे न पाहता प्रश्नाचा आकार ओळखून 1.33 सारखा पाठ केलेला प्रसिद्ध अपवर्तनांक उचलणे.
- अपवर्तनांकाला एकक जोडणे; ते दोन सारख्या राशींचे गुणोत्तर असल्याने परिमाणरहित असते.
- प्रकाश दुसऱ्या माध्यमात मंदावतो म्हणजे ते दाट माध्यम आहे आणि उत्तर 1 पेक्षा मोठे यायला हवे, ही फुकटची तपासणी न करणे.
प्रकाशशास्त्र एमपीएससीच्या पेपरात चार आकारांत येते. पहिला आकार म्हणजे इथे विचारला गेला तसा एक-पायरी अंकगणिती प्रश्न — दोन वेग किंवा दोन अपवर्तनांक देऊन तिसरे मूल्य विचारणारा — आणि तो व्याख्येची दिशा तपासतो. दुसरा आकार संकल्पनांचा : संपूर्ण अंतर्गत परावर्तन कधी होते, क्रांतिक कोन कशावर अवलंबून असतो, प्रकाश कोणत्या बाजूला वळतो. तिसरा आकार उपयोगांचा — प्रकाशीय तंतू, हिऱ्याची चमक, मृगजळ, इंद्रधनुष्य — आणि तो रोजच्या अनुभवांशी जोडून विचारला जातो. चौथा आकार प्रतिमानिर्मितीचा, आरसे व भिंगे यांवरचा असतो. पहिल्या आकारासाठी सूत्र चिन्हांत लिहिण्याची सवय, आणि उरलेल्या तिन्हींसाठी किरणाकृती स्वतः काढून पाहण्याची सवय — या दोन सवयी या संपूर्ण प्रकरणासाठी पुरतात.
या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
एका माध्यमात प्रकाशाचा वेग 2 × 10⁸ ms⁻¹ आहे. निर्वातातील प्रकाशाचा वेग 3 × 10⁸ ms⁻¹ घेतल्यास त्या माध्यमाचा निरपेक्ष अपवर्तनांक किती ?
- (a)0.67
- (b)1.5
- (c)2.0
- (d)6 × 10¹⁶
उत्तर(b) 1.5 — निरपेक्ष अपवर्तनांक म्हणजे निर्वातातील वेग भागिले माध्यमातील वेग, म्हणजे 3 × 10⁸ भागिले 2 × 10⁸ बरोबर 1.5; दहाचे घात छेदले जातात आणि उत्तराला एकक नसते. 0.67 हे गुणोत्तर उलट घेतल्याचे उत्तर आहे आणि निरपेक्ष अपवर्तनांक 1 पेक्षा लहान असूच शकत नाही, तर 6 × 10¹⁶ हा दोन वेगांचा गुणाकार आहे.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
संपूर्ण अंतर्गत परावर्तन होण्यासाठी खालीलपैकी कोणती अट आवश्यक आहे ?
- (a)प्रकाश विरळ माध्यमातून दाट माध्यमाकडे जावा आणि आपाती कोन क्रांतिक कोनापेक्षा लहान असावा
- (b)प्रकाश दाट माध्यमातून विरळ माध्यमाकडे जावा आणि आपाती कोन क्रांतिक कोनापेक्षा मोठा असावा
- (c)दोन्ही माध्यमांचे अपवर्तनांक समान असावेत
- (d)प्रकाश स्तंभिकेला समांतर पडावा
उत्तर(b) प्रकाश दाट माध्यमातून विरळ माध्यमाकडे जावा आणि आपाती कोन क्रांतिक कोनापेक्षा मोठा असावा — या दोन अटी एकत्र पूर्ण झाल्यावरच प्रकाश सीमेतून बाहेर न पडता पूर्णपणे मागे परावर्तित होतो. क्रांतिक कोन sin C = 1 / n या संबंधाने मिळतो, त्यामुळे अपवर्तनांक जितका मोठा तितका क्रांतिक कोन लहान — हिऱ्याचा सुमारे 24 अंश. प्रकाशीय तंतू, हिऱ्याची चमक आणि मृगजळ या तिन्ही घटना याच तत्त्वावर उभ्या आहेत.