MPSC 2021 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 52 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (1) — 8.9. सापेक्ष घनता, जिला विशिष्ट गुरुत्व असेही म्हणतात, ती एखाद्या पदार्थाची घनता भागिले पाण्याची घनता अशी व्याख्या केलेली असते. पाणी 4 अंश सेल्सिअसला घेतले जाते, कारण त्या तापमानाला त्याची घनता सर्वाधिक — 1000 kgm⁻³, म्हणजेच 1 g cm⁻³ — असते. प्रश्नात दोन्ही आवश्यक आकडे दिलेले असल्याने काम एका भागाकाराचे आहे : 8.9 × 10³ kgm⁻³ भागिले 1000 kgm⁻³, म्हणजे 8.9 × 10³ भागिले 1 × 10³, म्हणजे 8.9. एवढेच गणित आहे, आणि हा भागाकार करताना एककांचे काय होते हाच संपूर्ण प्रश्न आहे. अंश आणि छेद ही दोन्ही घनताच असल्याने किलोग्रॅम किलोग्रॅमशी आणि घनमीटर घनमीटरशी छेदले जातात आणि मागे काहीच उरत नाही. म्हणून सापेक्ष घनता ही शुद्ध संख्या असते — तिला परिमाण नाही, एकक नाही, आणि दोन्ही घनता कोणत्याही एकाच सुसंगत एकक-पद्धतीत मोजल्या असल्या तरी तिचे मूल्य तेच राहते. तेच उदाहरण ग्रॅम प्रति घन सेंटिमीटरमध्ये सोडवा : तांब्याची 8.9 g cm⁻³ भागिले पाण्याची 1 g cm⁻³ पुन्हा 8.9 च येते. ही अपरिवर्तनीयताच ही राशी मुळात ठरवण्यामागचे व्यावहारिक कारण आहे, आणि म्हणूनच एखाद्या पदार्थाची सापेक्ष घनता त्याच्या ग्रॅम प्रति घन सेंटिमीटरमधल्या घनतेएवढीच भरते — ही लक्षात ठेवण्याजोगी सोय आहे. म्हणून उत्तर 8.9 ही नुसती संख्या आहे. जो पर्याय तिला एकक जोडतो किंवा तिच्या दहाच्या घातात बदल करतो, त्याने गणिती चूक केलेली नसून गुणोत्तर म्हणजे काय हेच चुकीचे समजून घेतले आहे. उत्तराची भौतिक अर्थाशी एक तपासणीही करून पाहावी : सापेक्ष घनता 8.9 म्हणजे तांब्याचा ठरावीक आकारमानाचा तुकडा तेवढ्याच आकारमानाच्या पाण्यापेक्षा 8.9 पट जड आहे. म्हणूनच तांबे पाण्यात बुडते, आणि हा आकडा सुमारे 2.7 सापेक्ष घनतेच्या ॲल्युमिनियम आणि त्याहून वरच्या शिसे, पारा व सोने यांच्या दरम्यान नेमका बसतो.

• (2)8.9 kgm⁻³ — ही ओळ आकडा बरोबर घेते आणि त्याला एकक जोडते — आणि नेमकी हीच चूक उघड करण्यासाठी हा प्रश्न लिहिला आहे. सापेक्ष घनता ही दोन घनतांचे गुणोत्तर आहे, म्हणून अंशातले एकक छेदातल्या तशाच एककाशी छेदले जाते आणि उत्तर परिमाणरहित शुद्ध संख्या उरते. '8.9 kgm⁻³' असे लिहिणे म्हणजे नुसते अनावश्यक लेबल लावणे नव्हे; ते तांब्याची घनता 8.9 kgm⁻³ असल्याचे सांगते, जी प्रत्यक्ष घनतेच्या हजाराव्या भागाइतकी आणि पाण्याच्या घनतेपेक्षाही खूप कमी असते — म्हणजे त्या हिशेबाने तांब्याने पाण्यावर तरंगायला हवे. भौतिकशास्त्रात एकक हे सजावट नसून विधानाचा भाग असते. गुणोत्तराचे उत्तर लिहिताना अंश व छेद यांची एकके प्रत्यक्ष खोडून पाहावीत; काहीच उरले नाही तर उत्तराला एकक लावायचे नाही.
• (3)8.9 × 10⁶ — दोन घनतांचा भागाकार करण्याऐवजी गुणाकार केला की हेच उत्तर मिळते : 8.9 × 10³ गुणिले 1 × 10³ बरोबर 8.9 × 10⁶. ही गणिताची चूक नसून क्रियेची चूक आहे, आणि ती सहसा 'सापेक्ष घनता' हा शब्दप्रयोग अपरिचित वाटल्यामुळे होते — आकड्यांकडे पाहून जी क्रिया सुचेल ती उमेदवार करून टाकतो. व्याख्या भागाकाराची आहे, आणि भागाकाराचा क्रमही ठरलेला आहे : पदार्थाची घनता वर आणि पाण्याची घनता खाली. शिवाय या उत्तराची भौतिक तपासणीही सहज होते — 8.9 × 10⁶ म्हणजे तांबे पाण्यापेक्षा ऐंशी लाख पट जड असल्याचा दावा, जो कोणत्याही घन पदार्थासाठी अशक्य आहे. उत्तर लिहिण्यापूर्वी ते वास्तवात बसते का एवढा एक प्रश्न विचारला की अशा चुका आपोआप गळून पडतात.
• (4)8.9 × 10⁻⁶ — ही ओळ म्हणजे आधीच्या ओळीतल्या घाताचे चिन्ह उलटे केलेले रूप आहे, आणि प्रश्नातल्या दोन घनतांची कोणतीही योग्य हाताळणी हे उत्तर देत नाही. दहाचा एखादा घात उत्तरात असायलाच हवा असे ठरवून त्याची दिशा अंदाजाने निवडणाऱ्या उमेदवाराचे हे उत्तर असते — 8.9 × 10³ ला 1 × 10³ ने भागण्याऐवजी घातांचे यांत्रिक जुळवाजुळव केल्याने होणारी चूक. प्रत्यक्षात इथे दोन्ही घात सारखेच असल्याने ते पूर्णपणे छेदले जातात आणि उत्तरात दहाचा कोणताही घात उरतच नाही. शिवाय 8.9 × 10⁻⁶ म्हणजे तांबे पाण्यापेक्षा लाखो पट हलके असल्याचा दावा, जो कोणत्याही धातूसाठी निरर्थक आहे. घातांक असलेली गणिते सोडवताना घात आधी वेगळे करून त्यांचा हिशेब स्वतंत्रपणे करावा, म्हणजे दिशेचा अंदाज लावण्याची वेळच येत नाही.

घनता म्हणजे एकक आकारमानातले वस्तुमान; एसआय पद्धतीत ती किलोग्रॅम प्रति घनमीटरमध्ये मोजतात आणि प्रयोगशाळेत बहुधा ग्रॅम प्रति घन सेंटिमीटरमध्ये सांगतात, जिथे 1 g cm⁻³ म्हणजे 1000 kgm⁻³. सापेक्ष घनता किंवा विशिष्ट गुरुत्व म्हणजे पदार्थाची घनता भागिले 4 अंश सेल्सिअसला असलेली पाण्याची घनता — पाणी त्याच तापमानाला सर्वाधिक दाट असते. ही दोन सारख्या राशींची गुणोत्तर असल्याने तिला परिमाण नाही व एकक नाही; आणि पाण्याची घनता 1 g cm⁻³ असल्याने कोणत्याही पदार्थाची सापेक्ष घनता त्याच्या ग्रॅम प्रति घन सेंटिमीटरमधल्या घनतेएवढीच भरते — तांबे 8.9, ॲल्युमिनियम सुमारे 2.7, पारा सुमारे 13.6, सोने सुमारे 19.3, आणि बर्फ सुमारे 0.92. शेवटच्या आकड्यामुळेच बर्फ तरंगतो आणि हिमनगाचा जेमतेम दशांश भाग पाण्याबाहेर राहतो. ही राशी महत्त्वाची आहे कारण तरंगणे व बुडणे तीच ठरवते : द्रवात ठेवलेल्या वस्तूवर तिने बाजूला सारलेल्या द्रवाच्या वजनाएवढे उर्ध्वगामी बल कार्य करते — हेच आर्किमिडीजचे तत्त्व — त्यामुळे 1 पेक्षा जास्त सापेक्ष घनतेची वस्तू पाण्यात बुडते आणि 1 पेक्षा कमी सापेक्ष घनतेची वस्तू तरंगते, तीही आपल्या आकारमानाचा सापेक्ष घनतेएवढा भाग पाण्याखाली ठेवून. सापेक्ष घनता प्रत्यक्ष मोजण्याचे साधन म्हणजे द्रवघनतामापी — एक वजन बसवलेला तरंगता दांडा, जो द्रवाच्या घनतेनुसार ठरावीक खोलीपर्यंत बुडतो. दूध तपासण्याचा दुग्धमापी आणि शिसे-आम्ल बॅटरीतले द्रावण तपासण्याचे साधन ही याच तत्त्वावरची विशिष्ट कामासाठी बनवलेली उपकरणे आहेत.

एमपीएससीच्या विज्ञान विभागात प्रत्येक पेपरात मोजके अंकगणिती प्रश्न असतात, आणि ते जवळजवळ नेहमीच एका पायरीचे असतात; ते उमेदवाराला हिशेब करता येतो का हे नव्हे तर व्याख्या नेमकी माहीत आहे का हे तपासतात. हा प्रश्न त्याचे स्वच्छ उदाहरण आहे : गणित म्हणजे एक भागाकार, जो बहुतेकांना काहीही न लिहिता करता येईल, आणि गुण पूर्णपणे 'एका घनतेला दुसऱ्या घनतेने भागल्यावर उरणारी राशी नुसती संख्या असते' या एका गोष्टीवर अवलंबून आहेत. पर्यायांची रचनाही त्यानुसार केली आहे — बरोबर मूल्य दोनदा आले आहे, एकदा उघडे आणि एकदा एकक घालून, आणि उरलेल्या दोन ओळी त्याचा दहाचा घात दोन्ही दिशांना सरकवतात. अशा प्रश्नांची बांधणी कशी होते याचा हा उपयुक्त इशारा आहे : जेव्हा तेच अंक एकापेक्षा जास्त पर्यायांत दिसतात, तेव्हा प्रश्न गणिताखेरीज दुसरे काहीतरी तपासत असतो, आणि ते दुसरे काहीतरी बहुधा एकक, दहाचा घात किंवा गुणोत्तराची दिशा हेच असते. छपाईचीही नोंद घ्यावी : प्रश्नात व पर्यायांत घात वरच्या बाजूला लहान अक्षरांत छापले आहेत — kgm⁻³, 10³, 10⁶, 10⁻⁶ — आणि इथे ते तसेच दिले आहेत. घाईत वाचणाऱ्याच्या नजरेतून घातातले वजा चिन्ह सुटू शकते, आणि इथल्या तिसऱ्या व चौथ्या पर्यायांतला फरक नेमका तेवढाच आहे. या प्रश्नाचे पर्याय दोन्ही भाषांच्या स्तंभांत तंतोतंत सारखेच आहेत, कारण ते नुसते आकडे व एकके आहेत.

• सापेक्ष घनता किंवा विशिष्ट गुरुत्व म्हणजे पदार्थाची घनता भागिले 4 अंश सेल्सिअसला असलेली पाण्याची घनता; ती दोन सारख्या राशींचे गुणोत्तर असल्याने परिमाणरहित असते आणि तिला कोणतेही एकक नसते.
• पाण्याची घनता 4 अंश सेल्सिअसला सर्वाधिक असून ती 1000 kgm⁻³ म्हणजेच 1 g cm⁻³ इतकी आहे; म्हणूनच कोणत्याही पदार्थाची सापेक्ष घनता त्याच्या ग्रॅम प्रति घन सेंटिमीटरमधल्या घनतेएवढीच भरते.
• तांब्याची घनता 8.9 × 10³ kgm⁻³ असल्याने त्याची सापेक्ष घनता 8.9 आहे — म्हणजे तेवढ्याच आकारमानाच्या पाण्यापेक्षा तांबे 8.9 पट जड आहे; तुलनेसाठी ॲल्युमिनियम सुमारे 2.7, पारा सुमारे 13.6, सोने सुमारे 19.3 आणि बर्फ सुमारे 0.92.
• आर्किमिडीजच्या तत्त्वानुसार द्रवात ठेवलेल्या वस्तूवर तिने बाजूला सारलेल्या द्रवाच्या वजनाएवढे उर्ध्वगामी बल कार्य करते; म्हणून 1 पेक्षा जास्त सापेक्ष घनतेची वस्तू पाण्यात बुडते आणि 1 पेक्षा कमी असलेली तरंगते, तीही आपल्या आकारमानाचा सापेक्ष घनतेएवढा भाग पाण्याखाली ठेवून.
• सापेक्ष घनता द्रवघनतामापीने प्रत्यक्ष मोजतात; दूध तपासणारा दुग्धमापी आणि शिसे-आम्ल बॅटरीतले द्रावण तपासणारे साधन ही त्याचीच विशिष्ट कामासाठी बनवलेली रूपे आहेत.

• गुणोत्तराच्या उत्तराला एकक जोडणे — सापेक्ष घनतेला एकक नसते, आणि तिला kgm⁻³ लावले की तो घनतेविषयीचा वेगळाच आणि चुकीचा दावा होतो.
• दोन घनतांचा भागाकार करण्याऐवजी गुणाकार करणे, ज्यातून दहाच्या घातांचा भलताच आकडा तयार होतो.
• दोन्ही घात सारखे असताना ते छेदले जातात हे विसरून उत्तरात दहाचा एखादा घात राहिलाच पाहिजे असे मानणे.
• घातातले वजा चिन्ह घाईत न वाचणे; या प्रश्नातल्या दोन चुकीच्या ओळींतला फरक फक्त तेवढाच आहे.
• उत्तर वास्तवात बसते का हे न तपासणे — तांबे पाण्यापेक्षा हलके किंवा ऐंशी लाख पट जड ठरवणारे उत्तर एका वाक्यात नाकारता येते.

एमपीएससीच्या विज्ञान विभागातले अंकगणिती प्रश्न तीन आकारांत येतात. पहिला आकार म्हणजे व्याख्येचा एक-पायरी हिशेब — सापेक्ष घनता, अपवर्तनांक, शक्ती, कार्य — जिथे आकडे सोपे ठेवलेले असतात आणि गुण व्याख्येच्या नेमकेपणावर अवलंबून असतात. दुसरा आकार एककांचा असतो : उत्तराला एकक आहे की नाही, आणि असल्यास कोणते; परिमाणरहित राशी ओळखणे हा त्याचा गाभा असतो. तिसरा आकार दहाच्या घातांचा असतो, जिथे मोठ्या किंवा लहान संख्या वैज्ञानिक मांडणीत दिलेल्या असतात आणि चूक घातात पेरलेली असते. या तिन्ही आकारांसाठी एकच सवय पुरते : प्रश्न वाचल्यावर आधी व्याख्या चिन्हांत लिहावी, मग आकडे भरावेत, आणि शेवटी एकके प्रत्यक्ष खोडून पाहावीत. आणि पर्यायांत तेच अंक दोनदा दिसले की प्रश्न गणित नव्हे तर एकक, घात किंवा गुणोत्तराची दिशा तपासतो आहे हे ओळखावे.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  सापेक्ष घनतेविषयी खालीलपैकी कोणते विधान बरोबर आहे ?

  • (a)तिचे एकक kgm⁻³ असते
  • (b)ती परिमाणरहित असून तिला कोणतेही एकक नसते
  • (c)तिचे एकक g cm⁻³ असते
  • (d)तिचे एकक न्यूटन प्रति घनमीटर असते

  उत्तर(b) ती परिमाणरहित असून तिला कोणतेही एकक नसते — सापेक्ष घनता म्हणजे पदार्थाची घनता भागिले पाण्याची घनता, आणि दोन्ही सारख्याच राशी असल्याने अंश व छेदातली एकके एकमेकांशी छेदली जातात. म्हणूनच तिचे मूल्य कोणत्याही सुसंगत एकक-पद्धतीत तेच राहते आणि ते पदार्थाच्या ग्रॅम प्रति घन सेंटिमीटरमधल्या घनतेएवढेच भरते.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  बर्फाची सापेक्ष घनता सुमारे 0.92 आहे. यावरून पाण्यावर तरंगणाऱ्या बर्फाच्या तुकड्याचा किती भाग पाण्याखाली असतो ?

  • (a)सुमारे 8 टक्के
  • (b)सुमारे 50 टक्के
  • (c)सुमारे 92 टक्के
  • (d)संपूर्ण तुकडा पाण्याखाली असतो

  उत्तर(c) सुमारे 92 टक्के — आर्किमिडीजच्या तत्त्वानुसार तरंगत्या वस्तूने बाजूला सारलेल्या पाण्याचे वजन तिच्या स्वतःच्या वजनाएवढे असते, म्हणून पाण्याखालच्या भागाचे प्रमाण वस्तूच्या सापेक्ष घनतेएवढे भरते. बर्फासाठी ते 0.92 म्हणजे सुमारे 92 टक्के, आणि उरलेला सुमारे 8 टक्के भागच पाण्याबाहेर दिसतो — हिमनगाचा बहुतांश भाग पाण्याखाली असतो तो याच कारणाने.