एकाच पदार्थाच्या दोन रॉडच्या लांबी त्रिज्येचे गुणोत्तर 1 : 2 आणि 2 : 3 आहे. जर रॉडच्या दोन्ही टोकांमधील तापमानातील फरक समान असेल तर उष्णता प्रवाहाचे गुणोत्तर किती असेल ?
- (1)3 : 2
- (2)4 : 3
- (3)1 : 3
- (4)8 : 9
बरोबर उत्तर पर्याय (4) — 8 : 9. स्थिर-स्थितीतील (steady-state) उष्णता वहनाच्या वेळी रॉडमधून वाहणारा उष्णता-प्रवाह दर H = kA(ΔT)/L या सूत्राने मिळतो, जिथे k म्हणजे औष्णिक वाहकता, A म्हणजे आडछेदाचे क्षेत्रफळ, ΔT म्हणजे दोन्ही टोकांमधील तापमानातील फरक, आणि L म्हणजे रॉडची लांबी. दोन्ही रॉड 'एकाच पदार्था'चे असल्याने k दोन्हींसाठी सारखीच असते व गुणोत्तरातून वजा होते; तापमानातील फरकही दोन्ही रॉडसाठी समान असल्याचे नमूद असल्याने ΔT देखील वजा होते. उरते ते H हे A/L च्या समप्रमाणात असते, आणि प्रत्येक रॉड वर्तुळाकार आडछेदाचा असल्याने A = πr², त्यामुळे H हे (r²)/L च्या समप्रमाणात असते. प्रश्नात प्रत्येक रॉडच्या लांबी-त्रिज्या गुणोत्तराची माहिती दिली आहे (रॉड 1, L:r = 1:2; रॉड 2, L:r = 2:3), जे हेच सांगते की रॉड 1 ची लांबी व त्रिज्या (काही समाईक एककात) अनुक्रमे 1 व 2 या प्रमाणात आहेत, आणि रॉड 2 च्या 2 व 3 या प्रमाणात. यांतून H1/H2 = (r1²/L1) ÷ (r2²/L2) = (r1² × L2) / (L1 × r2²) = (2² × 2) / (1 × 3²) = (4 × 2) / (1 × 9) = 8/9. म्हणून उष्णता-प्रवाहाचे गुणोत्तर, H1 : H2, हे 8 : 9 इतके येते, जे पर्याय (4) शी तंतोतंत जुळते.
- (1)3 : 2 — दिलेल्या गुणोत्तरांसाठी H हे r²/L च्या समप्रमाणात असते या नियमातून हा आकडा येत नाही; तो त्रिज्यांचेच गुणोत्तर (2:3, उलटे केलेले 3:2) घेऊन लांबीचा घटक व त्रिज्येचा वर्ग या दोन्हींकडे दुर्लक्ष केल्यास आल्यासारखा भासतो. उष्णता-प्रवाह त्रिज्येवर नव्हे तर आडछेदाच्या क्षेत्रफळावर अवलंबून असतो, त्यामुळे गुणोत्तरात समाविष्ट करण्यापूर्वी त्रिज्येचा वर्ग करावाच लागतो, आणि लांबीचा घटक वगळता येत नाही.
- (2)4 : 3 — हाही आकडा H हे r²/L च्या समप्रमाणात असते हे बरोबर लागू करत नाही; तो एकाच रॉडच्या त्रिज्येचा वर्ग करून दुसऱ्या रॉडचा न करणे, किंवा लांबीचे गुणोत्तर क्षेत्रफळाचा घटक न मिळवताच थेट उत्तर म्हणून वापरणे यांच्याशी सुसंगत आहे. प्रत्येक रॉडची लांबी व त्रिज्येचा वर्ग A/L म्हणून गुणाकाराने एकत्र घ्यावेच लागतात, वेगवेगळे तुकड्या-तुकड्यांनी तुलना करून चालत नाही.
- (3)1 : 3 — हा आकडा केवळ लांब्यांची तुलना (1:2, सुलभ किंवा चुकीच्या पद्धतीने वापरलेली) किंवा क्षेत्रफळाचा (r²) घटक पूर्णतः वगळणाऱ्या अन्य आंशिक संयोजनातून येऊ शकतो. उष्णता-प्रवाह आडछेद-क्षेत्रफळ भागिले लांबी या प्रमाणात असल्याने, r² हा घटक वगळल्यास किंवा गुणोत्तराची दिशा चुकल्यास बरोबर 8:9 शी न जुळणारा आकडा येतो.
रॉडमधील स्थिर-स्थिती उष्णता वहन हे फुरिए नियमाच्या सर्वांत साध्या एक-मितीय स्वरूपात मांडले जाते: उष्णता-प्रवाह दर H = kA(ΔT)/L, जिथे k म्हणजे पदार्थाची औष्णिक वाहकता, A म्हणजे आडछेदाचे क्षेत्रफळ, ΔT म्हणजे दोन्ही टोकांमध्ये कायम राखलेला तापमान-फरक, आणि L म्हणजे रॉडची लांबी. एकाच पदार्थाच्या व समान तापमान-फरक असलेल्या रॉडसाठी H हे A/L च्या समप्रमाणात असते — म्हणजे लहान व जाड रॉड लांब व पातळ रॉडपेक्षा उष्णता वेगाने वहन करतो — हेच भूमितीय तर्कशास्त्र विद्युत रोधासाठी (R = ρL/A) वापरले जाते, फरक इतकाच की उष्णता-प्रवाह A/L च्या थेट समप्रमाणात असतो, त्याच्या व्यस्तप्रमाणात नाही, कारण H हा 'तापमान-विभवांतरा'मुळे 'औष्णिक रोधा'तून वाहणारा प्रवाह मानला जातो, आणि तो रोध L/(kA) असतो.
एमपीएससीचे भौतिकशास्त्र प्रश्न अनेकदा फक्त लांबी व त्रिज्येत फरक असलेले दोन रॉड (किंवा तारा) देऊन उष्णता-प्रवाह, रोध किंवा प्रति-एकक-लांबी रोध यांचे गुणोत्तर विचारतात, आणि यातून उमेदवार दिलेले भूमितीय गुणोत्तर योग्य समप्रमाणतेत बरोबर बसवू शकतो का व क्षेत्रफळ समाविष्ट असताना त्रिज्येचा वर्ग करणे विसरत नाही का हे तपासले जाते. वर्ग करणे विसरणे हा वारंवार येणारा सापळा आहे, कारण तो सोडून दिल्यास उत्तर शांतपणे बदलते.
- स्थिर-स्थितीतील रॉडमधील उष्णता-प्रवाह: H = kA(ΔT)/L, जिथे k म्हणजे औष्णिक वाहकता, A म्हणजे आडछेद-क्षेत्रफळ, ΔT म्हणजे तापमान-फरक, आणि L म्हणजे लांबी.
- एकाच पदार्थाच्या व समान तापमान-फरक असलेल्या रॉडसाठी H हे A/L च्या समप्रमाणात असते, म्हणजे वर्तुळाकार आडछेदासाठी (त्रिज्येचा वर्ग)/लांबी च्या समप्रमाणात.
- हे विद्युत वहनाचे औष्णिक समरूप आहे, जिथे विद्युतधारा चालक-भूमितीवर अवलंबून असलेल्या रोधाने भागलेल्या प्रेरक विभवांतराच्या समप्रमाणात असते.
एकच पदार्थ व समान ΔT वजा होतात — तुलनेसाठी फक्त r² आणि L उरतात.
- आडछेद-क्षेत्रफळ मिळवण्यासाठी त्रिज्येचा वर्ग करण्याऐवजी त्रिज्येचे गुणोत्तर थेट उष्णता-प्रवाह सूत्रात वापरणे
- उष्णता-वहनाच्या समप्रमाणतेत (H हे A/L च्या समप्रमाणात) व विद्युत-रोधाच्या समप्रमाणतेत (R हे L/A च्या समप्रमाणात) गल्लत करणे — या दोन्ही एकमेकांच्या भूमितीय व्यस्त आहेत
- दोन वेगळ्या रॉडसाठी दिलेली गुणोत्तरे कोणत्या रॉडची आहेत हे मिसळणे
एमपीएससीचा भौतिकशास्त्र विभाग वारंवार उष्णता वहन, विद्युत रोध किंवा अंतिम वेग यांवरील गुणोत्तर-आधारित प्रश्न विचारतो, जे दिलेली लांबी व त्रिज्येची गुणोत्तरे योग्य समप्रमाणतेत बरोबर बसवण्यावर व एखादी राशी कुठे वर्ग वा घन करावी लागते हे लक्षात ठेवण्यावर अवलंबून असतात.
या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
एकाच पदार्थाच्या दोन रॉडच्या त्रिज्या 1 : 2 या गुणोत्तरात आहेत आणि लांब्या 1 : 1 या गुणोत्तरात आहेत. जर प्रत्येक रॉडवरील तापमान-फरक समान असेल, तर त्यांतून वाहणाऱ्या उष्णता-प्रवाहाचे गुणोत्तर काय ?
- (a)1 : 2
- (b)1 : 4
- (c)2 : 1
- (d)4 : 1
उत्तर(b) 1 : 4 — H हे (त्रिज्येचा वर्ग)/लांबी च्या समप्रमाणात असते व लांब्या समान असल्याने, H1:H2 = (1)²:(2)² = 1:4.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
A आडछेद-क्षेत्रफळ, L लांबी, k औष्णिक वाहकता व ΔT टोकांमधील तापमान-फरक असलेल्या एकसमान रॉडमधील स्थिर-स्थिती उष्णता-वहन दराचे सूत्र काय आहे ?
- (a)H = kA(ΔT)/L
- (b)H = kL(ΔT)/A
- (c)H = k(ΔT)/(AL)
- (d)H = kAL(ΔT)
उत्तर(a) H = kA(ΔT)/L — हे प्रमाणभूत एक-मितीय स्थिर-स्थिती वहन समीकरण आहे, क्षेत्रफळ व तापमान-फरक यांच्या थेट समप्रमाणात व लांबीच्या व्यस्तप्रमाणात.