MPSC 2024 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 51 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (3) — गुरुत्वाकर्षणा एवढे त्वरण. प्रश्नात वर्णन केलेला क्षण म्हणजे उभ्या दिशेने वर फेकलेला कण आपल्या मार्गाच्या सर्वोच्च बिंदूवर पोहोचतो तो क्षण : वर जाणे थांबलेले असते आणि खाली येणे अजून सुरू झालेले नसते, म्हणून त्या क्षणी त्याचा वेग शून्य असतो. पण त्याच क्षणी त्याचे त्वरण शून्य नसते — ते गुरुत्वीय त्वरण एवढेच असते, वर जातानाही तेवढेच होते आणि खाली येतानाही तेवढेच राहील, आणि त्याची दिशा नेहमी उभी खालच्या बाजूला असते. याचे कारण न्यूटनचा दुसरा नियम आहे : कण हातातून सुटल्यानंतर त्याच्यावर काम करणारे एकच बल उरते — त्याचे स्वतःचे वजन — आणि हवेचा विरोध दुर्लक्षित केला तर ते बल संपूर्ण उड्डाणभर स्थिर असते. स्थिर वस्तुमानावर स्थिर बल म्हणजे स्थिर त्वरण, म्हणून सर्वोच्च बिंदूवर किंवा मार्गातील इतर कोणत्याही बिंदूवर त्वरणात काहीही बदल होत नाही. हा प्रश्न नेमकी कोणती गल्लत तपासतो हेही स्पष्ट आहे : वेग आणि त्वरण या दोन स्वतंत्र राशी असून एकीवरून दुसरीचा निष्कर्ष काढता येत नाही. त्वरण म्हणजे वेग किती आहे हे नव्हे, तर वेग किती झपाट्याने बदलतो आहे ते. त्यामुळे एखाद्या वस्तूचा वेग शून्य असतानाही तिचा वेग सर्वाधिक दराने बदलत असू शकतो. सर्वोच्च बिंदूवर वेग वरच्या दिशेकडून खालच्या दिशेकडे जाताना शून्यातून जातो, आणि तो दर सेकंदाला सुमारे 9.8 मीटर प्रति सेकंद या दराने बदलत असतो — म्हणूनच कण तिथे टांगून राहत नाही, तर लगेच खाली पडू लागतो. उलट तपासणीही तेवढीच निर्णायक आहे : त्या बिंदूवर त्वरण खरोखर शून्य असते, तर शून्य वेग आणि शून्य त्वरण असलेला कण जिथे आहे तिथेच कायम राहिला असता आणि कधीच खाली आला नसता. हीच रचना झोका घेणाऱ्या लंबकाच्या टोकाच्या स्थितीतही दिसते आणि सरल हरात्मक गती करणाऱ्या वस्तूच्या टोकाच्या स्थानातही — तिथे विस्थापन सर्वाधिक, वेग शून्य आणि त्वरण सर्वाधिक असते.

• (1)शून्य — पर्याय (1) — शून्य — हाच या प्रश्नातला मुख्य सापळा आहे, कारण उमेदवाराची सहज जाणीव नेमके तेच उत्तर पुरवते : कण क्षणभर थांबल्यासारखा दिसतो, आणि 'थांबणे' म्हणजे 'काहीच घडत नाही' असे आपण नकळत मानतो. पण त्वरण वेग किती आहे ते मोजत नाही, वेग किती झपाट्याने बदलतो आहे ते मोजते; आणि सर्वोच्च बिंदूवर वेगाची दिशाच वरून खाली बदलत असते, म्हणजे तिथे बदल शून्य नसून पूर्ण दराने चालू असतो. निर्णायक तपासणी अशी करता येते : त्वरण खरोखर शून्य मानले, तर शून्य वेग व शून्य त्वरण असलेली वस्तू कायमची त्याच जागी राहते; म्हणजे वर फेकलेला कण सर्वोच्च बिंदूवर टांगून राहील आणि कधीच परत येणार नाही — जे उघडपणे घडत नाही. शिवाय कणावरचे वजन हे बल त्या क्षणीही नाहीसे होत नाही, आणि बल शून्य नसेल तर त्वरणही शून्य असू शकत नाही.
• (2)अनंत — पर्याय (2) — अनंत — यासाठी अनंत बलाची गरज पडेल, कारण त्वरण म्हणजे बल भागिले वस्तुमान, आणि कणाचे वस्तुमान सांत असून उड्डाणभर बदलत नाही. कण सुटल्यानंतर त्याच्यावर काम करणारे एकमेव बल म्हणजे त्याचे वजन, जे वस्तुमान गुणिले गुरुत्वीय त्वरण एवढे — म्हणजे पूर्णपणे सांत — असते; सर्वोच्च बिंदूवर नवे कोणतेही बल अवतरत नाही आणि गतीत कुठेही खंड पडत नाही. अनंत त्वरण म्हणजे शून्य कालावधीत वेगात अनंत बदल, तर इथे कण वळताना त्याचा वेग सलगपणे व क्रमाक्रमाने शून्यातून जातो. गतीचा आलेख काढला तर तो सर्वोच्च बिंदूवरही गुळगुळीत राहतो, कुठेही उभा उडी घेत नाही — म्हणजे अनंताला जागाच उरत नाही.
• (4)एक — पर्याय (4) — एक — हे उत्तरच नाही, कारण त्याला एकक जोडलेले नाही. भौतिक राशीचा नुसता आकडा एकाकी सांगितला तर तो काहीच सांगत नाही; 'एक' म्हणजे एक मीटर प्रति सेकंद वर्ग, की एक सेंटीमीटर प्रति सेकंद वर्ग, हे ठरवण्याचा मार्गच उरत नाही. आणि एककांची कोणतीही प्रचलित पद्धत घेतली तरी मुक्तपणे पडणाऱ्या वस्तूचे त्वरण एक होत नाही : आंतरराष्ट्रीय एकक पद्धतीत पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळ ते सुमारे 9.8 मीटर प्रति सेकंद वर्ग आहे, म्हणजे 'एक' हे उत्तर जवळपास दसपटीने चुकते. त्वरणाविषयीच्या प्रश्नात नुसता आकडा देणारा पर्याय याच एका कारणावर बाद करता येतो, हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे.

कोणत्याही एका क्षणी वेग आणि त्वरण या दोन स्वतंत्र राशी असतात, आणि उभ्या दिशेने वर फेकलेला कण हे त्याचे पाठ्यपुस्तकी उदाहरण आहे. वरची दिशा धन मानली आणि कण हातातून u या गतीने सुटला, असे धरले तर t या क्षणी त्याचा वेग u वजा gt एवढा असतो. हा वेग सतत कमी होत जातो, u भागिले g या क्षणी शून्यातून जातो आणि नंतर ऋण होतो — म्हणजे कण खाली येऊ लागतो. याच संपूर्ण प्रवासात त्याचे त्वरण मात्र प्रत्येक क्षणी ऋण g एवढेच राहते, आकारमानाने व दिशेने दोन्ही बाबतींत स्थिर, कारण त्याच्यावर काम करणारे एकमेव बल त्याचे वजन आहे. या दोन संबंधांतूनच उरलेली सगळी गती निघते : गाठली जाणारी कमाल उंची u चा वर्ग भागिले दुप्पट g, वर जाण्याचा काळ आणि खाली येण्याचा काळ समान, आणि कण फेकणाऱ्याच्या हातात ज्या गतीने सुटला त्याच गतीने परत येतो — फक्त दिशा उलटी. हे त्वरण वस्तुमानावर अवलंबून नसते, म्हणजे हवेचा विरोध काढून टाकल्यास जड व हलकी वस्तू सारखीच पडतात, ही गॅलिलिओची मांडणी g ला वस्तूचा नव्हे तर पृथ्वीचा गुणधर्म बनवते. हीच तर्कसंगती कोणत्याही आंदोलनाच्या टोकाच्या स्थानालाही लागू होते : लंबकाच्या झोक्याच्या टोकाला किंवा सरल हरात्मक गतीच्या टोकाच्या स्थानी वेग शून्य असतो, तर पुनःस्थापक बल आणि म्हणून त्वरण सर्वाधिक असते.

एमपीएससीचे भौतिकशास्त्रावरील प्रश्न आकडेमोडीचे नसून संकल्पनेचे असतात, आणि आयोग तेच प्रश्न वारंवार विचारते जिथे रोजची जाणीव नेमकी उलट्या दिशेला बोट दाखवते — वेग शून्य पण त्वरण शून्य नाही; कक्षेतील अंतराळवीराला वजनरहित वाटते तरी गुरुत्वाकर्षण चालूच असते; एकसमान वर्तुळाकार गतीत गती स्थिर असूनही वस्तू त्वरित होत असते. या सगळ्यांना एकच सवय पुरते : प्रश्नात वर्णन केलेल्या क्षणी वस्तूवर कोणकोणती बले काम करत आहेत ते मोजा, त्यांची बेरीज करा आणि वस्तुमानाने भागा. बलांची बेरीज शून्य नसेल तर त्वरण शून्य नाही, मग वेगाचे काहीही चालू असो. ही तपासणी परीक्षा हॉलमध्ये काही सेकंदांत होते आणि प्रश्न ज्या चुकीच्या जाणिवेवर बांधलेला असतो तिच्यापासून पूर्णपणे सुरक्षित ठेवते. याच प्रश्नपत्रिकेतील पुढच्या भौतिकशास्त्राच्या प्रश्नांतही तेच धोरण चालते — विधाने खरी वाटतात का हे न बघता, मागचा नियम कोणता आणि तो नेमके काय सांगतो एवढेच विचारायचे.

• पृथ्वीच्या पृष्ठभागाजवळचे गुरुत्वीय त्वरण सुमारे 9.8 मीटर प्रति सेकंद वर्ग असून त्याची दिशा उभी खालच्या बाजूला असते; हवेचा विरोध दुर्लक्षित केल्यास ते सर्व वस्तूंसाठी सारखेच असते, वस्तुमान कितीही असो.
• उभ्या दिशेने वर फेकलेल्या कणाच्या सर्वोच्च बिंदूवर वेग क्षणभर शून्य होतो, पण त्वरण जसेच्या तसे गुरुत्वीय त्वरण एवढेच राहते, कारण सुटल्यानंतर कणावर काम करणारे एकमेव बल त्याचे वजन असते.
• त्वरण म्हणजे वेगाच्या बदलाचा दर, म्हणून वस्तूचा वेग शून्य असूनही तिचे त्वरण शून्य नसू शकते; उलट वेग व त्वरण दोन्ही शून्य असलेली वस्तू मात्र कायम त्याच जागी स्थिर राहते.
• u या आरंभीच्या गतीने वर फेकलेल्या कणाची कमाल उंची u चा वर्ग भागिले दुप्पट गुरुत्वीय त्वरण एवढी असते; वर जाण्याचा काळ आणि खाली येण्याचा काळ समान असतो आणि कण सुटला त्याच गतीने परत येतो.
• सरल हरात्मक गतीच्या टोकाच्या स्थानीही हाच संबंध दिसतो — विस्थापन व त्वरण सर्वाधिक असताना वेग शून्यातून जातो, तर मध्यस्थानी वेग सर्वाधिक असतो आणि त्वरण शून्य होते.

• वेग शून्य आहे म्हणून त्वरणही शून्य असेल असा निष्कर्ष काढणे, तर दोन्ही स्वतंत्र असून त्वरण फक्त बलांवर ठरते
• त्वरण ही सदिश राशी आहे हे विसरणे — सर्वोच्च बिंदूवर वळणारा कण दिशा बदलत असल्याने तिथे वेगातील बदल पूर्ण दराने चालू असतो
• भौतिक राशीच्या प्रश्नात एककाशिवाय दिलेला नुसता आकडा उत्तर म्हणून स्वीकारणे, तर एककाशिवाय तो आकडा काहीच सांगत नाही
• एकसमान वर्तुळाकार गतीत गती स्थिर आहे म्हणून त्वरण नाही असे मानणे — हीच गल्लत वेगळ्या मांडणीत परत येते

एमपीएससी यांत्रिकीचे प्रश्न आकडेमोडीचे कोडे म्हणून नव्हे तर एका ओळीच्या संकल्पनात्मक सापळ्याच्या रूपात विचारते : फेकलेल्या वस्तूचा सर्वोच्च बिंदू, झोक्याच्या टोकाला असलेला लंबकाचा गोळा, कक्षेतील उपग्रह, खाली त्वरित होणारी उद्वाहक पेटी. यांपैकी प्रत्येकाचे उत्तर एकाच पद्धतीने मिळते — वर्णन केलेल्या क्षणी काम करणारी बले मोजा — आणि प्रत्येकात एक पर्याय असा असतो जो भौतिकशास्त्राला नव्हे तर सहज जाणिवेला बक्षीस देतो. या विशिष्ट प्रश्नाचा विषय पुन्हा येईल तो दोनपैकी एका रूपात : प्रक्षेपमार्गाच्या सर्वोच्च बिंदूवर वेग व त्वरण यांची तुलना करणारा प्रश्न, किंवा सरल हरात्मक गतीत विस्थापन, वेग व त्वरण कोठे कमाल आणि कोठे किमान होतात असे विचारणारा प्रश्न. उत्तरे लक्षात ठेवण्यापेक्षा 'बले मोजा' ही एकच सवय लावली, तर या गटातला कोणताही प्रश्न वेगळा अभ्यास न करता सुटतो.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  सरल हरात्मक गती करणारी वस्तू आपल्या टोकाच्या स्थानी असताना त्या क्षणी पुढीलपैकी काय बरोबर असते ?

  • (a)वेग आणि त्वरण दोन्ही शून्य असतात
  • (b)वेग शून्य असतो आणि त्वरण कमाल असते
  • (c)वेग कमाल असतो आणि त्वरण शून्य असते
  • (d)वेग आणि त्वरण दोन्ही कमाल असतात

  उत्तर(b) वेग शून्य असतो आणि त्वरण कमाल असते — टोकाच्या स्थानी मध्यस्थानापासूनचे विस्थापन सर्वाधिक असते, म्हणून पुनःस्थापक बल आणि त्यामुळे त्वरणही सर्वाधिक असते; त्याच क्षणी वस्तू दिशा बदलण्यापूर्वी क्षणभर थांबलेली असते, म्हणून वेग शून्य असतो. मध्यस्थानी नेमके उलटे घडते — तिथे वेग कमाल आणि त्वरण शून्य असते.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  एक चेंडू उभ्या दिशेने वर 19.6 मीटर प्रति सेकंद या आरंभीच्या गतीने फेकला. गुरुत्वीय त्वरण 9.8 मीटर प्रति सेकंद वर्ग घेतल्यास व हवेचा विरोध दुर्लक्षित केल्यास तो जास्तीत जास्त किती उंच जाईल ?

  • (a)9.8 मीटर
  • (b)19.6 मीटर
  • (c)39.2 मीटर
  • (d)4.9 मीटर

  उत्तर(b) 19.6 मीटर — कमाल उंची म्हणजे आरंभीच्या गतीचा वर्ग भागिले दुप्पट गुरुत्वीय त्वरण, म्हणजे 19.6 गुणिले 19.6 भागिले 19.6, जे 19.6 मीटर येते. तिथवर पोहोचायला लागणारा काळ आरंभीची गती भागिले गुरुत्वीय त्वरण म्हणजे 2 सेकंद, आणि आणखी 2 सेकंदांनी चेंडू त्याच 19.6 मीटर प्रति सेकंद गतीने परत खाली येतो.