MPSC 2023 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 66 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (1) — 0.0821 atm Lit mol⁻¹ K⁻¹. प्रश्नाने स्थिरांक आठवण्यासाठी नव्हे तर काढण्यासाठी लागणारी प्रत्येक राशी हातात दिली आहे. आदर्श वायूचे समीकरण PV = nRT असल्याने R = PV ÷ nT, आणि प्रश्नात वर्णन केलेली स्थिती म्हणजे मानक तापमान व दाबाला एक मोल वायू 22.4 लिटर व्यापतो : n = 1 मोल, V = 22.4 Lit, P = 1 वातावरणीय दाब आणि T = 273 K — मानक तापमान म्हणजे बर्फाचा द्रवणबिंदू केल्विन मापनश्रेणीवर मांडलेला. ही मूल्ये ठेवली की R = (1 × 22.4) ÷ (1 × 273) = 0.0821 मिळते, आणि एककेही त्याच प्रतिष्ठापनेतून यांत्रिकपणे निघतात : वातावरणीय दाब गुणिले लिटर, भागिले मोल आणि भागिले केल्विन, म्हणजे atm Lit mol⁻¹ K⁻¹. पर्याय (1) मध्ये आकडा व एकक दोन्ही नेमके तेच छापले आहेत, म्हणून तोच उत्तर आहे. या प्रश्नाचा खरा रोख वेगळाच आहे : R हा एक ठरावीक आकडा नसून एक भौतिक राशी आहे, आणि एककपद्धती बदलली की तिचे संख्यात्मक मूल्यही बदलते — म्हणून मूल्य आणि एकक नेहमी एकत्रच फिरले पाहिजेत. SI पद्धतीत, दाब पास्कलमध्ये व आकारमान घनमीटरमध्ये घेतले तर हाच स्थिरांक 8.314 J K⁻¹ mol⁻¹ होतो; CGS पद्धतीत, जिथे ऊर्जा अर्गमध्ये मोजतात आणि एक ज्यूल म्हणजे 10⁷ अर्ग, तिथे तो 8.314 × 10⁷ erg K⁻¹ mol⁻¹ होतो; आणि उष्मारसायनशास्त्रात तो सुमारे 1.987 म्हणजे स्थूलमानाने 2 कॅलरी K⁻¹ mol⁻¹ असतो. ही सर्व एकाच स्थिरांकाची रूपे आहेत, आणि एका पद्धतीतील आकडा दुसऱ्या पद्धतीतील एककाला जोडणे म्हणजे सरळ चुकीचे विधान. उरलेले तीन पर्याय नेमक्या याच पद्धतीने बांधले आहेत : प्रत्येकात खरा आकडा घेऊन त्याला चुकीचे एकक किंवा चुकीचा घातांक जोडलेला आहे. म्हणून हा प्रश्न सोडवण्याची शिस्त एकच — प्रश्नात दिलेल्या एककांत आकडेमोड करावी आणि उत्तरातील एककेही त्याच प्रतिष्ठापनेतून निघू द्यावीत. इथे दाब वातावरणीय आणि आकारमान लिटरमध्ये दिले असल्याने उत्तर atm Lit mol⁻¹ K⁻¹ याच एककात असणे अपरिहार्य आहे, आणि तेवढ्या एका निरीक्षणानेच ज्यूल व अर्ग असणारे दोन पर्याय बाद होतात.

• (2)8.314 × 10⁷ Joules K⁻¹ mol⁻¹ — इथे आकडा आणि घातांक दोन्ही खरे आहेत, पण ते ज्या एककाबरोबर जातात ते एकक बदलले आहे. 8.314 × 10⁷ हे मूल्य अर्ग या CGS ऊर्जा-एककात बरोबर आहे, कारण एक ज्यूल म्हणजे 10⁷ अर्ग; ज्यूलमध्ये तेच मूल्य 8.314 इतकेच असते, दहा कोटी पट नाही. म्हणजे हा पर्याय CGS मधील आकडा उचलून SI मधील एककाला चिकटवतो, आणि नेमकी हीच अदलाबदल पर्याय (4) मध्ये उलट दिशेने केलेली आहे — दोघे मिळून एकच सापळा दोन बाजूंनी रचतात. शिवाय या प्रश्नात दाब वातावरणीय दाबात व आकारमान लिटरमध्ये दिले असल्याने उत्तराचे एकक atm Lit mol⁻¹ K⁻¹ याच स्वरूपात यायला हवे; ऊर्जा-एककातले उत्तर मुळात प्रश्नात दिलेल्या राशींशीच जुळत नाही, म्हणून आकडेमोड न करताही हा पर्याय वगळता येतो.
• (3)82.1 atm Lit mol⁻¹ K⁻¹ — एकक इथे बरोबर आहे — प्रश्नात दिलेल्या राशींशी सुसंगत असे atm Lit mol⁻¹ K⁻¹ — पण आकडा हजारपट मोठा आहे. 22.4 ÷ 273 ही भागाकार 0.0821 देते, 82.1 नाही; आणि 82.1 हे मूल्य आकारमान लिटरऐवजी मिलिलिटरमध्ये घेतले तरच बरोबर ठरते, कारण एक लिटर म्हणजे हजार मिलिलिटर. म्हणून हा पर्याय आकड्यांच्या क्रमवारीची चूक तपासतो : स्थिरांकाचे अंक 8, 2, 1 हे लक्षात असतात पण दशांश चिन्ह कुठे बसते हे लक्षात नसते. एक जलद ताळा असा — R चे मूल्य 22.4 भागिले 273 आहे, म्हणजे लहान संख्या भागिले मोठी संख्या, म्हणून उत्तर एकापेक्षा लहानच असले पाहिजे. एवढ्या एका विचारानेच 82.1 बाद होते.
• (4)8.314 erg K⁻¹ mol⁻¹ — हा पर्याय पर्याय (2) च्या नेमका उलट आहे : तिथे CGS मधला आकडा SI च्या एककाला जोडला होता, इथे SI मधला आकडा CGS च्या एककाला जोडला आहे. 8.314 हे मूल्य ज्यूलमध्ये बरोबर आहे; अर्गमध्ये तेच मूल्य 8.314 × 10⁷ इतके असते, कारण अर्ग हे ज्यूलपेक्षा दहा कोटी पट लहान ऊर्जा-एकक आहे. लहान एकक वापरले की तीच राशी मोठ्या आकड्यात मांडावी लागते हे साधे तत्त्व इथे तपासले जाते. आणि पुन्हा तोच मुद्दा : प्रश्नात दाब वातावरणीय दाबात व आकारमान लिटरमध्ये दिले असल्याने अपेक्षित उत्तर ऊर्जा-एककात नव्हे तर atm Lit mol⁻¹ K⁻¹ या एककात असावे लागते, म्हणून हा पर्याय दोन्ही कसोट्यांवर पडतो.

आदर्श वायूचे समीकरण PV = nRT हे बॉइल, चार्ल्स व ॲव्होगॅड्रो यांच्या नियमांना एकत्र गुंफणारे समीकरण आहे. बॉइलचा नियम स्थिर तापमानाला P ∝ 1/V सांगतो, चार्ल्सचा नियम स्थिर दाबाला V ∝ T सांगतो आणि ॲव्होगॅड्रोचा नियम स्थिर तापमान व दाबाला V ∝ n सांगतो; तिन्ही जोडले की V ∝ nT/P आणि समानुपाताचा स्थिरांक म्हणून R येतो. R ला 'सर्वकष' म्हणतात कारण त्याचे मूल्य वायू कोणता आहे यावर अजिबात अवलंबून नसते — ऑक्सिजन असो, हायड्रोजन असो वा कार्बन डायऑक्साइड, आदर्श वर्तनाच्या मर्यादेत सर्वांसाठी तोच स्थिरांक चालतो. याउलट विशिष्ट वायु स्थिरांक R भागिले त्या वायूचे मोलर वस्तुमान असा असतो आणि म्हणून तो वायूगणिक बदलतो. R चे संख्यात्मक मूल्य मात्र एककपद्धतीनुसार बदलते, आणि हा या विषयातील सर्वांत वारंवार तपासला जाणारा मुद्दा आहे : atm व लिटरमध्ये 0.0821, SI मध्ये 8.314 J K⁻¹ mol⁻¹, CGS मध्ये 8.314 × 10⁷ erg K⁻¹ mol⁻¹ आणि उष्मारसायनशास्त्रात सुमारे 1.987 cal K⁻¹ mol⁻¹. R चा दुसरा चेहरा सांख्यिकीय आहे : R = N_A × k_B, म्हणजे बोल्ट्झमान स्थिरांक एका रेणूवरून ॲव्होगॅड्रो संख्येने वाढवून एका मोलावर नेला की R मिळतो. आणि 22.4 लिटर हे मोलर आकारमान जुन्या मानक स्थितीचे — 0 °C व एक वातावरणीय दाब — आहे; IUPAC च्या सध्याच्या शिफारशीनुसार मानक दाब एक बार धरला जातो आणि तेव्हा मोलर आकारमान सुमारे 22.7 लिटर भरते. परीक्षेत मात्र प्रश्नात जो आकडा छापला असेल तोच वापरावा, आणि इथे प्रश्नानेच 22.4 Lit दिले आहे.

एमपीएससीच्या विज्ञान विभागात वायुनियमांवरील प्रश्न नियमित येतात आणि त्यांतील बहुसंख्य प्रश्न आकडेमोडीचे नसून एककांच्या शिस्तीचे असतात. हा प्रश्न त्या जातीचा नमुनेदार नमुना आहे : चारही पर्यायांतले आकडे खरे आहेत, फक्त प्रत्येक चुकीच्या पर्यायात आकडा आणि एकक यांची जोडी मोडलेली आहे. अशा रचनेवर उपाय एकच — प्रश्नात कोणत्या एककांत माहिती दिली आहे ते आधी पाहणे आणि उत्तराचे एकक त्याच प्रतिष्ठापनेतून निघू देणे. इथे दाब वातावरणीय दाबात व आकारमान लिटरमध्ये दिल्यामुळे उत्तर atm Lit mol⁻¹ K⁻¹ याच एककात असणे भाग आहे, आणि एवढ्या एका निरीक्षणाने ऊर्जा-एकक असणारे दोन्ही पर्याय आकडेमोडीपूर्वीच बाद होतात; उरलेल्या दोहोंतून निवड करण्यासाठी 22.4 ÷ 273 ही एकच भागाकार पुरते. दुसरी लक्षात ठेवण्याजोगी सवय म्हणजे परिमाणाची तपासणी : लहान संख्या भागिले मोठी संख्या याचे उत्तर एकापेक्षा लहानच येणार, म्हणून 82.1 हा आकडा दिशाच चुकवतो. तयारीच्या दृष्टीने R ची चारही रूपे एका ओळीत लिहून ठेवणे फायद्याचे ठरते, कारण आयोग हा स्थिरांक कधी atm-लिटरमध्ये, कधी SI मध्ये तर कधी कॅलरीत विचारते. मराठी स्तंभात या प्रश्नाची एकके व आकडे जशाच्या तशा लॅटिन लिपीत छापले आहेत आणि प्रश्न रिकाम्या जागेच्या रूपात आहे, तर इंग्रजी स्तंभात तो 'R is' वर संपणाऱ्या वाक्याच्या रूपात आहे.

• सर्वकष वायु स्थिरांक R = PV ÷ nT असा मिळतो, आणि एक मोल वायू एक वातावरणीय दाबाला व 273 K ला 22.4 लिटर व्यापतो हे ठेवले की R = 22.4 ÷ 273 = 0.0821 atm Lit mol⁻¹ K⁻¹ भरतो.
• हाच स्थिरांक SI एककांत 8.314 J K⁻¹ mol⁻¹ असतो, CGS पद्धतीत 8.314 × 10⁷ erg K⁻¹ mol⁻¹ असतो कारण एक ज्यूल म्हणजे 10⁷ अर्ग, आणि उष्मारसायनशास्त्रीय एककांत सुमारे 1.987 cal K⁻¹ mol⁻¹ असतो.
• R ला सर्वकष म्हणतात कारण त्याचे मूल्य वायू कोणता आहे यावर अवलंबून नसते; याउलट विशिष्ट वायु स्थिरांक म्हणजे R भागिले त्या वायूचे मोलर वस्तुमान, आणि तो वायूगणिक बदलतो.
• R आणि बोल्ट्झमान स्थिरांक यांच्यातील संबंध R = N_A × k_B असा आहे, म्हणजे एका रेणूचा स्थिरांक ॲव्होगॅड्रो संख्येने वाढवून एका मोलावर नेला की वायु स्थिरांक मिळतो.
• 22.4 लिटर हे मोलर आकारमान 0 °C व एक वातावरणीय दाब या जुन्या मानक स्थितीचे आहे; IUPAC च्या सध्याच्या शिफारशीनुसार मानक दाब एक बार धरल्यास मोलर आकारमान सुमारे 22.7 लिटर भरते.

• R हा एकच ठरावीक आकडा आहे असे मानणे — तो एककपद्धतीनुसार बदलतो, म्हणून त्याचे मूल्य आणि एकक नेहमी एकत्रच लक्षात ठेवावे
• एका पद्धतीतील आकडा दुसऱ्या पद्धतीतील एककाला जोडणे, उदाहरणार्थ 8.314 ला अर्ग किंवा 8.314 × 10⁷ ला ज्यूल चिकटवणे
• 22.4 ÷ 273 या भागाकारात दशांश चिन्ह चुकवून 0.0821 ऐवजी 82.1 घेणे; 82.1 हे मूल्य आकारमान मिलिलिटरमध्ये घेतले तरच बरोबर ठरते
• आकडेमोड करण्यापूर्वी उत्तराचे एकक कोणते असले पाहिजे हे न तपासणे — प्रश्नातील राशी atm व लिटरमध्ये असतील तर उत्तर ऊर्जा-एककात येऊ शकत नाही
• सर्वकष वायु स्थिरांक व विशिष्ट वायु स्थिरांक यांची गल्लत करणे; पहिला सर्व वायूंसाठी एकच असतो, दुसरा मोलर वस्तुमानाने भागल्याने वायूगणिक वेगळा असतो

वायु स्थिरांक व आदर्श वायूचे समीकरण एमपीएससीत तीन ठरावीक रूपांत येते : R चे ठरावीक एककातील मूल्य विचारणे, PV = nRT वापरून एखादी अज्ञात राशी काढायला लावणे, किंवा बॉइल व चार्ल्स यांच्या नियमांचे विधान ओळखायला सांगणे. या तिन्हींत आकडेमोड किरकोळ असते आणि खरी परीक्षा एककांच्या हाताळणीची असते, म्हणून आयोग चुकीचे पर्याय बांधताना खरे आकडे घेऊन त्यांना चुकीची एकके जोडतो — जसे इथे केले आहे. उमेदवाराने लक्षात ठेवण्याजोगे दोन नियम : पहिला, प्रश्नात दिलेली एकके हीच उत्तराची एकके ठरवतात; दुसरा, परिमाणाचा अंदाज बांधून उत्तर तपासणे, कारण दशांश चिन्ह सरकवलेला पर्याय जवळजवळ प्रत्येक वेळी यादीत असतो. R ची चारही रूपे, मानक स्थितीतील मोलर आकारमान आणि PV = nRT ची पुनर्मांडणी एवढे तीन घटक पक्के केले की या संपूर्ण गटावर पकड येते.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  SI एककांमध्ये सर्वकष वायु स्थिरांक R चे मूल्य किती असते ?

  • (a)0.0821 J K⁻¹ mol⁻¹
  • (b)8.314 J K⁻¹ mol⁻¹
  • (c)1.987 J K⁻¹ mol⁻¹
  • (d)8.314 × 10⁷ J K⁻¹ mol⁻¹

  उत्तर(b) 8.314 J K⁻¹ mol⁻¹ — SI पद्धतीत दाब पास्कलमध्ये व आकारमान घनमीटरमध्ये घेतल्यावर PV हा गुणाकार ज्यूलमध्ये येतो, म्हणून R चे एकक J K⁻¹ mol⁻¹ आणि मूल्य 8.314 भरते. 0.0821 हे मूल्य atm व लिटरच्या पद्धतीतील आहे, 1.987 हे कॅलरीतील आहे आणि 8.314 × 10⁷ हे अर्गमधील; तिन्ही खरे आकडे असले तरी इथे दिलेल्या ज्यूल या एककाशी जुळणारा एकच आहे.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  मानक तापमान व दाबाला (0 °C आणि 1 वातावरणीय दाब) कोणत्याही आदर्श वायूच्या एका मोलाचे आकारमान किती असते ?

  • (a)11.2 लिटर
  • (b)22.4 लिटर
  • (c)24.0 लिटर
  • (d)44.8 लिटर

  उत्तर(b) 22.4 लिटर — ॲव्होगॅड्रोच्या नियमानुसार समान तापमान व दाबाला समान आकारमानात सर्व वायूंचे रेणू समसंख्य असतात, म्हणून वायू कोणताही असो त्याच्या एका मोलाचे मानक स्थितीतील आकारमान सारखेच म्हणजे 22.4 लिटर भरते. 11.2 लिटर हे अर्ध्या मोलाचे आणि 44.8 लिटर हे दोन मोलांचे आकारमान आहे. IUPAC च्या सध्याच्या मानक दाब म्हणून एक बार धरणाऱ्या व्याख्येनुसार हाच आकडा सुमारे 22.7 लिटर होतो.