MPSC 2023 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 41 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (1) — सूर्यापासून जास्तीत जास्त अंतर असताना ग्रहाचा वेग सर्वात कमी आणि कमीत कमी अंतर असताना सर्वात जास्त असतो. हे विधान म्हणजे केप्लरच्या दुसऱ्या नियमाचे, म्हणजेच क्षेत्रफळाच्या नियमाचे, थेट वाचन आहे. हा नियम सांगतो की सूर्य आणि ग्रह यांना जोडणारी रेषा समान कालावधीत समान क्षेत्रफळ व्यापते. एका दिवसात ही रेषा जो निमुळता त्रिकोण काढते त्याची कल्पना करा : सूर्याजवळ ही रेषा आखूड असते, त्यामुळे त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ तेवढेच भरण्यासाठी ग्रहाला त्या दिवसात कक्षेवरून बरेच लांबचे अंतर कापावे लागते — म्हणजे वेगाने जावे लागते. सूर्यापासून दूर असताना तीच रेषा लांब असते, त्यामुळे कक्षेवरील खूप कमी कमानीनेही तेवढेच क्षेत्रफळ भरून निघते आणि ग्रहाची गती मंदावते. समान काळात समान क्षेत्रफळ ही अटच म्हणून अंतर घटले की वेग वाढवते आणि अंतर वाढले की वेग घटवते. याच्या मुळाशी कोनीय संवेगाचे अक्षय्यत्व आहे. गुरुत्वाकर्षण बल ग्रहाला नेहमी सरळ सूर्याच्या दिशेने ओढते, म्हणजे ते केंद्रवर्ती बल आहे; अशा बलामुळे सूर्याभोवती परिबल (टॉर्क) निर्माण होत नाही, त्यामुळे ग्रहाचा सूर्याभोवतीचा कोनीय संवेग बदलू शकत नाही. कोनीय संवेग म्हणजे वस्तुमान, अंतर आणि सूर्याकडे जाणाऱ्या रेषेला लंब असलेला वेगघटक यांचा गुणाकार; अंतर घटले की हा गुणाकार तेवढाच राहावा म्हणून वेग वाढणे भाग पडते. ऊर्जेच्या भाषेतही तेच चित्र दिसते : ग्रह आत ओढला जातो तेव्हा गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जेचे रूपांतर गतिज ऊर्जेत होते, आणि तो बाहेर सरकतो तेव्हा उलट देवाणघेवाण घडते. सूर्यापासूनच्या सर्वात जवळच्या बिंदूला उपसूर्यबिंदू (perihelion) आणि सर्वात दूरच्या बिंदूला अपसूर्यबिंदू (aphelion) म्हणतात; पृथ्वी जानेवारीच्या सुरुवातीला उपसूर्यबिंदूवर तर जुलैच्या सुरुवातीला अपसूर्यबिंदूवर असते. मराठी स्तंभात चारही पर्याय 'जास्तीत जास्त अंतर' व 'कमीत कमी अंतर' या भाषेत मांडलेले आहेत, त्यामुळे इथे वाचताना अंतर आणि वेग यांतील नाते उलटे लावण्याची चूक सहज होते; पर्याय (1) नेमके तेच खरे नाते मांडतो, म्हणून तोच बरोबर.

• (2)ग्रहांचा वेग सूर्यापासून जास्तीत जास्त अंतर असताना सर्वात जास्त आणि सूर्यापासून कमीत कमी अंतर असताना सर्वात कमी असतो. — हे पर्याय (1) चे नेमके उलटे विधान आहे आणि याच उलट्या मांडणीभोवती हा प्रश्न बांधलेला आहे. रोजच्या अनुभवातून येणारी कल्पना अशी असते की ओढणाऱ्या बलापासून दूर असलेली वस्तू मोकळेपणाने भरधाव जाईल आणि जवळची वस्तू ओढली जाऊन मंदावेल — कक्षेतील गती नेमकी याच्या उलट चालते. सूर्याचे गुरुत्वाकर्षण ग्रहाच्या मार्गावर घर्षणासारखा अडथळा आणत नाही; ते नेहमी सूर्याच्या दिशेने ओढणारे बल असल्याने आत येताना ग्रहाला ते गती देते आणि बाहेर जाताना त्याची गती काढून घेते. हा पर्याय खरा मानला तर सूर्य-ग्रह रेषेने दूर असताना मोठे आणि जवळ असताना लहान क्षेत्रफळ व्यापले पाहिजे — क्षेत्रफळाचा नियम नेमकी हीच शक्यता नाकारतो, आणि सूर्याभोवतीचा कोनीय संवेगही मग स्थिर राहणार नाही.
• (3)ग्रहांचा वेग सूर्यापासून जास्तीत जास्त व कमीत कमी अंतर असताना सारखाच असतो. — सर्वत्र सारखा वेग हा केवळ वर्तुळाकार कक्षेत एकसमान गतीने फिरणाऱ्या ग्रहाच्या चित्रात शक्य आहे — आणि हेच केप्लरपूर्व चित्र केप्लरच्या कामाने मोडीत काढले. त्यांचा पहिला नियम सांगतो की कक्षा लंबवर्तुळाकार असून सूर्य तिच्या दोन नाभींपैकी एका नाभीवर असतो; त्यामुळे एका प्रदक्षिणेत सूर्यापासूनचे ग्रहाचे अंतर खरोखर बदलत राहते, आणि अंतर बदलले की दुसऱ्या नियमानुसार वेग बदलणे अटळ ठरते. हा पर्याय निवडणारा उमेदवार बहुधा शाळेतल्या वर्तुळाकार कक्षेचे रेखाचित्र मनात ठेवून वाचत असतो. बहुतेक ग्रहांच्या कक्षा वर्तुळापासून फार दूर नाहीत, त्यामुळे ते रेखाचित्र आकाराचे ढोबळ वर्णन म्हणून चालते — पण वर्तुळापासूनचा तोच लहानसा फरक हा प्रश्न तपासतो आहे.
• (4)ग्रहांचा वेग सूर्यापासून जास्तीत जास्त व कमीत कमी अंतर असताना सर्वात जास्त असतो. — हा पर्याय नुसता चुकीचा नाही, तो स्वतःच स्वतःला खोडून काढतो : जास्तीत जास्त आणि कमीत कमी अशा दोन्ही अंतरांवर वेग सर्वात जास्त असेल, तर तो सर्वात कमी कुठे उरणार ? 'सर्वात जास्त' या शब्दाला अर्थच तेव्हा येतो जेव्हा कुठेतरी वेग कमी असतो. मराठी स्तंभात इथे 'व' छापलेले असल्याने दोन्ही टोकांवरचा दावा एकाच वेळी केला जातो, आणि विसंगती अधिकच उघड होते. वाक्याचा पूर्वार्ध वाचून — 'ग्रहांचा वेग सूर्यापासून जास्तीत जास्त व कमीत कमी अंतर असताना' — पुढचे शब्द न वाचता निवड करणाऱ्या उमेदवारासाठीच हा पर्याय ठेवलेला आहे. प्रत्येक पर्याय पूर्णविरामापर्यंत वाचला, तर केप्लरचे नियम माहीत नसतानाही हा पर्याय बाद करता येतो.

केप्लरचे तीन नियम ग्रहगतीचे वर्णन करतात, तिचे कारण सांगत नाहीत; आणि ते तीन वेगवेगळ्या गोष्टींविषयीची तीन स्वतंत्र विधाने म्हणून लक्षात ठेवणे सर्वात उपयोगी ठरते. पहिला नियम कक्षेच्या आकाराविषयी आहे : प्रत्येक ग्रह लंबवर्तुळाकार कक्षेत फिरतो आणि सूर्य तिच्या दोन नाभींपैकी एका नाभीवर असतो; त्यामुळे कक्षेत सर्वात जवळचा बिंदू (उपसूर्यबिंदू) आणि सर्वात दूरचा बिंदू (अपसूर्यबिंदू) असे दोन टोकाचे बिंदू निर्माण होतात. दुसरा नियम त्या आकारावरील गतीच्या दराविषयी आहे : सूर्य आणि ग्रह यांना जोडणारी त्रिज्या रेषा समान काळात समान क्षेत्रफळ व्यापते — म्हणजेच ग्रह सूर्याजवळ वेगवान आणि सूर्यापासून दूर मंद असतो. तिसरा नियम वेगवेगळ्या ग्रहांची तुलना करतो : ग्रहाच्या परिभ्रमण कालावधीचा वर्ग हा त्याच्या कक्षेच्या अर्धदीर्घ अक्षाच्या घनाच्या समप्रमाणात असतो, म्हणून बाहेरच्या ग्रहाला एक फेरी पूर्ण करायला प्रमाणाबाहेर जास्त वेळ लागतो. पुढे न्यूटनने दाखवून दिले की हे तिन्ही नियम व्यस्त वर्ग स्वरूपाच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या नियमातून निघतात. विशेषतः दुसरा नियम एवढ्याच गोष्टीवर उभा आहे की गुरुत्वाकर्षण हे केंद्रवर्ती बल आहे — ते सरळ सूर्याच्या दिशेने काम करते, सूर्याभोवती परिबल निर्माण करत नाही आणि म्हणून ग्रहाचा कोनीय संवेग जसाच्या तसा ठेवते. यामुळेच क्षेत्रफळाचा नियम केवळ गुरुत्वाकर्षणापुरता नाही, तर कोणत्याही केंद्रवर्ती बलासाठी खरा ठरतो.

एमपीएससीच्या सामान्य विज्ञान विभागात केप्लर वारंवार येतो, कारण हे नियम शुद्ध स्मरणावर, आकृतीवर किंवा — इथे आहे तसे — साध्या भाषेतील विधान खरे की खोटे ठरवण्यावर अशा तिन्ही प्रकारे तपासता येतात. या प्रश्नाने शिकवलेली पहिली सवय म्हणजे निवड करण्यापूर्वी चारही पर्याय शेवटपर्यंत वाचणे : या संचात बरोबर विधानाचे उलटे विधान आहे, वर्तुळाकार कक्षा गृहीत धरणारे विधान आहे आणि स्वतःशीच विसंगत असलेले विधान आहे. मराठी स्तंभातील चारही पर्याय 'ग्रहांचा वेग सूर्यापासून' या सारख्याच शब्दांनी सुरू होतात, त्यामुळे सुरुवातीचे शब्द वाचून पुढे सरकणाऱ्याला ते वेगळे करताच येत नाहीत. दुसरी सवय म्हणजे प्रत्येक नियमाला शब्दरचना म्हणून नव्हे तर कारणासह लक्षात ठेवणे : समान काळात समान क्षेत्रफळ कारण सूर्याभोवतीचा कोनीय संवेग अक्षय्य असतो, लंबवर्तुळाकार कक्षा कारण व्यस्त वर्ग नियमातून शंकुच्छेद आकार निघतात, आणि कालावधी-अंतर संबंध कारण अंतर वाढले की ओढ कमी होते. कारणासह लक्षात ठेवलेला नियम शब्दरचना बदलली तरी टिकतो; नुसते वाक्य म्हणून लक्षात ठेवलेला टिकत नाही — आणि आयोग शब्दरचना मोकळेपणाने बदलतो. याच प्रश्नात त्याचे उदाहरण आहे : इंग्रजी स्तंभ 'nearer / farther' अशा तुलनात्मक भाषेत लिहितो, तर मराठी स्तंभ तेच पर्याय 'जास्तीत जास्त अंतर' व 'कमीत कमी अंतर' अशा टोकांच्या भाषेत मांडतो.

• केप्लरचा दुसरा नियम म्हणजे क्षेत्रफळाचा नियम : सूर्य आणि ग्रह यांना जोडणारी रेषा समान कालावधीत समान क्षेत्रफळ व्यापते, आणि यासाठी ग्रहाला सूर्याजवळ सर्वात वेगाने व सूर्यापासून दूर सर्वात मंद गतीने जावे लागते.
• क्षेत्रफळाचा नियम हा कोनीय संवेगाच्या अक्षय्यत्वाचा परिणाम आहे : गुरुत्वाकर्षण हे सूर्याच्या दिशेने काम करणारे केंद्रवर्ती बल असल्याने ते सूर्याभोवती परिबल निर्माण करत नाही आणि ग्रहाचा कोनीय संवेग स्थिर राहतो.
• केप्लरचा पहिला नियम सांगतो की प्रत्येक ग्रह लंबवर्तुळाकार कक्षेत फिरतो व सूर्य तिच्या एका नाभीवर असतो; त्यामुळे सूर्य-ग्रह अंतर एका प्रदक्षिणेत उपसूर्यबिंदू (सर्वात जवळ) ते अपसूर्यबिंदू (सर्वात दूर) यांदरम्यान बदलत राहते.
• केप्लरचा तिसरा नियम सांगतो की परिभ्रमण कालावधीचा वर्ग कक्षेच्या अर्धदीर्घ अक्षाच्या घनाच्या समप्रमाणात असतो, म्हणून सूर्यापासून दूरच्या ग्रहांना एक प्रदक्षिणा पूर्ण करायला प्रमाणाबाहेर जास्त वेळ लागतो.
• पृथ्वी जानेवारीच्या सुरुवातीला उपसूर्यबिंदूवर आणि जुलैच्या सुरुवातीला अपसूर्यबिंदूवर पोहोचते; ऋतू मात्र या अंतरबदलामुळे नव्हे, तर पृथ्वीच्या आसाच्या कलामुळे निर्माण होतात.

• क्षेत्रफळाचा नियम उलटा लावणे आणि सूर्यापासून दूर जाताना ग्रह वेगवान होतो असे मानणे — पर्याय (2) नेमके तेच देतो
• कक्षा वर्तुळाकार असून गती एकसमान आहे असे गृहीत धरणे; केप्लरच्या पहिल्या नियमाने हेच चित्र मागे टाकले, आणि पर्याय (3) त्यावरच उभा आहे
• सारख्याच शब्दांनी सुरू होणाऱ्या पर्यायांचा फक्त पूर्वार्ध वाचणे — पर्याय (4) याच सवयीवर गुण मिळवतो
• पृथ्वीवरील ऋतू सूर्यापासून बदलत्या अंतरामुळे होतात असे सांगणे, प्रत्यक्षात ते पृथ्वीच्या आसाच्या कलामुळे होतात

एमपीएससीच्या प्रश्नपत्रिकांत केप्लर तीन ओळखीच्या रूपांत येतो. पहिले रूप सरळ जोडणीचे — कोणता नियम काय सांगतो, किंवा क्षेत्रफळाचा नियम कोणी मांडला. दुसरे रूप याच प्रश्नासारखे विधान-निवाड्याचे, जिथे बरोबर नियम आणि त्याचे नेमके उलटे विधान दोन्ही छापलेले असतात आणि उमेदवाराला दिशा ओळखावी लागते. तिसरे रूप उपयोजनाचे — ग्रह किंवा धूमकेतू आपल्या कक्षेत कुठे सर्वात वेगाने जातो, किंवा धूमकेतू सूर्याजवळ थोडाच काळ दिसतो आणि कक्षेच्या बाहेरच्या भागात दशके का घालवतो. हाच आशय उपग्रह व ऋतू यांवरील प्रश्नांचाही पाया असल्याने तो तीन वाक्ये म्हणून नव्हे तर भौतिकशास्त्र म्हणून शिकणे फायद्याचे ठरते; आणि सर्वात आधी पक्के करण्याजोगे नाते हाच प्रश्न तपासतो — सूर्य जवळ म्हणजे वेग जास्त.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  लंबवर्तुळाकार कक्षेत सूर्याभोवती फिरणाऱ्या ग्रहाचा कक्षीय वेग खालीलपैकी कोणत्या बिंदूवर सर्वात जास्त असतो ?

  • (a)अपसूर्यबिंदू, म्हणजे सूर्यापासून सर्वात दूरचा बिंदू
  • (b)उपसूर्यबिंदू, म्हणजे सूर्याच्या सर्वात जवळचा बिंदू
  • (c)लघु अक्षाची दोन्ही टोके, जिथे वेग समान असतो
  • (d)कक्षेच्या प्रत्येक बिंदूवर वेग सारखाच असतो

  उत्तर(2) उपसूर्यबिंदू, म्हणजे सूर्याच्या सर्वात जवळचा बिंदू — केप्लरच्या क्षेत्रफळाच्या नियमानुसार त्रिज्या रेषेने समान काळात समान क्षेत्रफळ व्यापायचे असल्याने, सूर्याकडे जाणारी रेषा आखूड असताना ग्रहाला त्याच कालावधीत कक्षेवरील मोठी कमान कापावी लागते. सूर्याभोवतीचा कोनीय संवेग अक्षय्य असतो या तत्त्वातूनही तोच निष्कर्ष निघतो : अंतर घटले की वेग वाढणे भाग असते.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  केप्लरचा ग्रहगतीचा दुसरा नियम हा खालीलपैकी कोणत्या राशीच्या अक्षय्यत्वाचा थेट परिणाम आहे ?

  • (a)ग्रहाचा रेषीय संवेग
  • (b)सूर्याभोवतीचा ग्रहाचा कोनीय संवेग
  • (c)ग्रहाची गतिज ऊर्जा
  • (d)सूर्याचे वस्तुमान

  उत्तर(2) सूर्याभोवतीचा ग्रहाचा कोनीय संवेग — गुरुत्वाकर्षण हे केंद्रवर्ती बल असून ते नेहमी ग्रह व सूर्य यांना जोडणाऱ्या रेषेच्या दिशेने काम करते, म्हणून सूर्याभोवती ते परिबल निर्माण करत नाही आणि ग्रहाचा कोनीय संवेग बदलू शकत नाही. गतिज ऊर्जा मात्र अक्षय्य नसते; आत येताना ती वाढते आणि बाहेर जाताना गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जेत रूपांतरित होऊन घटते.