एक धाविका ने 40 किलोमीटर की दौड़ 3 घंटे में पूरी की । उसने दूरी के हर चौथाई भाग को पूरा करने पर अपनी चाल में परिवर्तन किया, इस प्रकार कि क्रमश: पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे चौथाई भाग में चालों का अनुपात 2 : 3 : 4 : 5 हो । तब उसने कितने समय (लगभग) में दौड़ के अंतिम चौथाई भाग को पूरा किया ?
- (a)32 मिनट
- (b)31 मिनट
- (c)29 मिनट
- (d)28 मिनट
सही उत्तर — D, (d) 28 मिनट । दौड़ 40 किलोमीटर की है, इसलिए हर चौथाई भाग 10 किलोमीटर का है — चारों भागों की दूरी बराबर । जब दूरी बराबर हो तब समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है । चालों का अनुपात 2 : 3 : 4 : 5 दिया है, इसलिए समयों का अनुपात 1/2 : 1/3 : 1/4 : 1/5 होगा । इसे पूर्णांकों में लाने के लिए हर पद को 60 से गुणा कीजिए — समयों का अनुपात 30 : 20 : 15 : 12 बन जाता है । इन भागों का योग 30 + 20 + 15 + 12 = 77 है, और कुल समय 3 घंटे अर्थात् 180 मिनट । अतः अंतिम चौथाई भाग का समय = 180 × 12 ÷ 77 = 2160 ÷ 77 = 28·05 मिनट, अर्थात् लगभग 28 मिनट । प्रश्न में 'लगभग' शब्द इसीलिए है । चाहें तो चारों भागों का समय भी देख लीजिए — लगभग 70, 47, 35 और 28 मिनट, जिनका योग ठीक 180 मिनट बैठता है, और यही पूरी गणना की सबसे अच्छी जाँच है । ध्यान देने योग्य मुख्य बात यह है कि चालों का अनुपात 2 : 3 : 4 : 5 है, पर समयों का अनुपात 5 : 4 : 3 : 2 नहीं होता — व्युत्क्रम लेने का अर्थ हर पद का उलटा लेना है, पूरे क्रम को उलट देना नहीं । यही चूक इस प्रश्न में सबसे महँगी पड़ती है । एक तेज़ रास्ता भी है : 77 × 28 = 2156, जो 2160 से केवल 4 कम है, इसलिए उत्तर 28 से थोड़ा ही ऊपर है और निकटतम मिनट 28 ही बनता है ।
- (a)32 मिनट — 32 मिनट वहाँ से आता है जहाँ से 31 मिनट आता है — चालों का साधारण औसत ले लेने से । यदि कोई अभ्यर्थी यह मान ले कि पूरी दौड़ की औसत चाल 40 ÷ 3 = 13·33 किलोमीटर प्रति घंटा चारों चालों का साधारण औसत है, तो 2k, 3k, 4k, 5k का औसत 3·5k होगा और उससे k = 3·81 निकलेगा ; तब अंतिम चौथाई की चाल 5k = 19·05 किलोमीटर प्रति घंटा बनेगी और समय 10 ÷ 19·05 घंटा, अर्थात् ठीक 31·5 मिनट । यह मान 31 और 32 के ठीक बीच बैठता है, और परीक्षक ने दोनों पड़ोसी मान विकल्पों में इसीलिए रखे हैं । भूल कहाँ है, यह समझना ज़रूरी है : बराबर दूरियों पर औसत चाल हरात्मक माध्य होती है, समांतर माध्य नहीं ।
- (b)31 मिनट — 31 मिनट भी उसी ग़लत रास्ते का पड़ाव है । जो अभ्यर्थी चालों का साधारण औसत लेकर चलता है, उसे अंतिम चौथाई का समय 31·5 मिनट मिलता है, और वह उसे नीचे की ओर पूर्णांकित करके 31 चुन लेता है । सही रास्ते में औसत चाल निकालने की आवश्यकता ही नहीं पड़ती — दूरी बराबर होने के कारण सीधे समयों का अनुपात 30 : 20 : 15 : 12 निकल आता है और कुल 180 मिनट को उसी अनुपात में बाँट देना काफ़ी है । जब भी दूरी बराबर हो और चालों का अनुपात दिया हो, अनुपात को उलटकर समय पर चले जाइए ; औसत चाल का चक्कर लगाने की आवश्यकता नहीं ।
- (c)29 मिनट — 29 मिनट सही रास्ते से किसी भी चरण पर नहीं निकलता । सही मान 2160 ÷ 77 = 28·05 मिनट है, और निकटतम मिनट 28 ही बनता है । 29 पर पहुँचने के लिए भागों का योग 77 के बजाय लगभग 74·5 होना चाहिए — अर्थात् 30, 20, 15 और 12 को जोड़ने में ही चूक हो । यह विकल्प इसलिए रखा गया है कि जिसकी गणना ठीक हुई हो पर जोड़ में या पूर्णांकन में हड़बड़ी हो, वह इसे उठा ले । उत्तर लिखने से पहले भागों का योग और चारों भागों के समयों का योग, दोनों एक बार मिला लेना इस भूल से बचा देता है ।
इस अध्याय के दो सूत्र सब कुछ तय करते हैं । पहला — समय बराबर हो तो दूरी चाल के अनुक्रमानुपाती होती है । दूसरा — दूरी बराबर हो तो समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है । इस प्रश्न में चारों चौथाई भाग बराबर दूरी के हैं, इसलिए दूसरा सूत्र लागू होता है और चालों का अनुपात 2 : 3 : 4 : 5 समयों के अनुपात 1/2 : 1/3 : 1/4 : 1/5 में बदल जाता है, जो पूर्णांकों में 30 : 20 : 15 : 12 है । इसी से जुड़ा तीसरा तथ्य यह है कि बराबर दूरियों पर औसत चाल हरात्मक माध्य होती है ; दो बराबर दूरियों के लिए वह 2ab ÷ (a + b) के रूप में लिखी जाती है और सदा दोनों चालों के साधारण औसत से कम रहती है ।
यह प्रश्न बहुत सीधे ढंग से यही जाँचता है कि अभ्यर्थी अनुपात को उलटना जानता है या नहीं । दो सामान्य भूलें हैं । पहली, चालों के अनुपात 2 : 3 : 4 : 5 को उलटकर समय का अनुपात 5 : 4 : 3 : 2 लिख देना — व्युत्क्रम का अर्थ हर पद का उलटा है, न कि क्रम का उलट जाना ; ये दोनों तभी एक होते हैं जब पद केवल दो हों । दूसरी, औसत चाल के लिए साधारण औसत ले लेना । ध्यान दीजिए कि प्रश्न में कुल दूरी 40 किलोमीटर और कुल समय 3 घंटे केवल इसलिए दिए गए हैं कि 180 मिनट को अनुपात में बाँटा जा सके ; अलग-अलग चालों का वास्तविक मान निकालने की आवश्यकता कहीं नहीं पड़ती ।
- 40 किलोमीटर की दौड़ का हर चौथाई भाग 10 किलोमीटर का है, इसलिए चारों भागों की दूरी बराबर है ।
- बराबर दूरी पर समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है ।
- चालों का अनुपात 2 : 3 : 4 : 5 होने पर समयों का अनुपात 1/2 : 1/3 : 1/4 : 1/5, अर्थात् 30 : 20 : 15 : 12 है ।
- इन भागों का योग 77 है और कुल समय 180 मिनट, इसलिए अंतिम चौथाई का समय 180 × 12 ÷ 77 = 28·05 मिनट ।
- चारों भागों के समय लगभग 70, 47, 35 और 28 मिनट हैं, जिनका योग 180 मिनट बैठता है ।
- बराबर दूरियों पर औसत चाल हरात्मक माध्य होती है, समांतर माध्य नहीं ; साधारण औसत लेने पर यहाँ 31·5 मिनट का ग़लत मान मिलता है ।
- चालों के अनुपात को उलटने के बजाय उसका क्रम उलट देना ; 2 : 3 : 4 : 5 का व्युत्क्रम 5 : 4 : 3 : 2 नहीं है ।
- बराबर दूरियों पर औसत चाल के लिए साधारण औसत ले लेना ।
- भागों के योग 77 को जोड़ने में चूक कर देना ; उत्तर सीधे इसी योग पर टिका है ।
- प्रश्न में 'लगभग' शब्द को अनदेखा करके पूर्णांकन की दिशा उलट देना ।
इस अध्याय का सबसे आम प्रारूप यही है — चालों या समयों का अनुपात देकर किसी एक खंड का मान पूछना । हल का ढर्रा तीन पंक्तियों का है : देखिए कि क्या बराबर है (दूरी या समय), उसी के अनुसार अनुपात उलटिए या रखिए, और कुल राशि को अनुपात के भागों में बाँट दीजिए । EPFO इसी अध्याय से रेलगाड़ी, आपेक्षिक चाल और औसत चाल के प्रश्न भी पूछता है, इसलिए हरात्मक माध्य वाला सूत्र और अनुपात-विभाजन की यह विधि, दोनों एक साथ अभ्यास कीजिए ।
इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।
- practice — not a real PYQ
कोई व्यक्ति समान दूरी के दो भागों को क्रमशः 30 किलोमीटर प्रति घंटा और 60 किलोमीटर प्रति घंटा की चाल से तय करता है । पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल क्या है ?
- (a)40 किलोमीटर प्रति घंटा
- (b)45 किलोमीटर प्रति घंटा
- (c)48 किलोमीटर प्रति घंटा
- (d)50 किलोमीटर प्रति घंटा
उत्तर(a) 40 किलोमीटर प्रति घंटा — बराबर दूरियों पर औसत चाल हरात्मक माध्य होती है, अर्थात् (2 × 30 × 60) ÷ (30 + 60) = 40 ; साधारण औसत 45 यहाँ ग़लत उत्तर देता है ।
- practice — not a real PYQ
समान दूरियाँ तय करने में यदि दो व्यक्तियों की चालों का अनुपात 2 : 3 हो, तो उनके लिए गए समयों का अनुपात क्या होगा ?
- (a)2 : 3
- (b)3 : 2
- (c)4 : 9
- (d)9 : 4
उत्तर(b) 3 : 2 — बराबर दूरी पर समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है ।