EPFO EO/AO 2023 सामान्य योग्यता परीक्षण · प्रश्न 71 / 100

सही उत्तर — D, (d) x = 4, y = 4 । कुंजी यह है कि 88 = 8 × 11, और 8 तथा 11 सह-अभाज्य हैं ; इसलिए संख्या को 88 से विभाज्य होने के लिए 8 से भी विभाज्य होना चाहिए और 11 से भी । दोनों कसौटियाँ अलग-अलग लगाइए । ग्यारह की कसौटी पहले लीजिए, क्योंकि वह यहाँ चमत्कार कर देती है : बाएँ से एकांतर चिह्न लगाकर अंकों का योग निकालिए — 7 – 8 + 9 – 4 + 5 – 9 + x – y । पहले छह अंकों का यह योग शून्य हो जाता है, इसलिए पूरा व्यंजक केवल x – y बचता है । अतः 11 को x – y विभाजित करना चाहिए, और चूँकि x तथा y दोनों 0 से 9 तक के अंक हैं, इसका एक ही अर्थ है — x = y । अब आठ की कसौटी लीजिए : अंतिम तीन अंक 9xy, अर्थात् 900 + 10x + y, 8 से विभाज्य होने चाहिए । 900 को 8 से भाग देने पर शेष 4 बचता है और 10x का शेष 2x है, इसलिए शर्त बनती है 4 + 2x + y का 8 से विभाज्य होना । इसमें y की जगह x रखिए तो 4 + 3x का 8 का गुणज होना चाहिए । x = 0 से 9 तक रखकर देखिए — केवल x = 4 पर 4 + 12 = 16 मिलता है, जो 8 का गुणज है । अर्थात् x = 4 और y = 4, और यह हल एकमात्र है । जाँच : 78945944 ÷ 88 = 897113, शेष शून्य । परीक्षा-कक्ष में इससे भी छोटा रास्ता है — चारों विकल्प सामने हैं, इसलिए हर विकल्प पर पहले 11 की एकांतर-योग कसौटी लगाइए और जो बचे उस पर अंतिम तीन अंकों वाली 8 की कसौटी ; यह समीकरण हल करने से तेज़ पड़ता है ।

• (a)x = 1, y = 2 — x = 1, y = 2 रखने पर संख्या 78945912 बनती है । आठ की कसौटी यह पार कर लेती है — अंतिम तीन अंक 912 हैं और 912 ÷ 8 = 114 — पर ग्यारह पर टूट जाती है । एकांतर योग x – y = 1 – 2 = –1 है, जो न शून्य है और न 11 का गुणज । इसलिए संख्या 8 से तो विभाज्य है, 11 से नहीं, और 88 से विभाज्य होने के लिए दोनों चाहिए । यही इस प्रश्न का असली जाल है : जो अभ्यर्थी केवल 8 की जाँच करके रुक जाता है, वह यहीं फँसता है, क्योंकि दो विकल्प 8 की कसौटी पार कर जाते हैं ।
• (b)x = 2, y = 2 — x = 2, y = 2 रखने पर संख्या 78945922 बनती है, और यह विकल्प पहली ही कसौटी पर गिर जाता है । अंतिम तीन अंक 922 हैं, और 922 ÷ 8 = 115 शेष 2 — अर्थात् संख्या 8 से विभाज्य ही नहीं, इसलिए 88 से विभाज्य होने का प्रश्न नहीं उठता । यहाँ एक और बात ध्यान देने योग्य है : x = y होने की शर्त यह विकल्प पूरी करता है, इसलिए 11 की कसौटी यह पार कर लेता है । अर्थात् दोनों कसौटियाँ अलग-अलग सही होने से काम नहीं चलता — एक ही संख्या को दोनों पर खरा उतरना है ।
• (c)x = 3, y = 6 — x = 3, y = 6 रखने पर संख्या 78945936 बनती है । यह भी 8 की कसौटी पार कर लेती है, क्योंकि अंतिम तीन अंक 936 हैं और 936 ÷ 8 = 117 ; पर ग्यारह पर यह भी टूटती है, क्योंकि x – y = 3 – 6 = –3 है, जो 11 का गुणज नहीं । यह विकल्प इसलिए भी आकर्षक लगता है कि 3 और 6 दोनों 3 के गुणज हैं और अंकों का योग देखने की आदत वाला अभ्यर्थी उसे किसी कसौटी से जोड़ बैठता है — पर 88 की कसौटी में 3 का कोई स्थान नहीं । याद रखिए कि 11 की कसौटी अंकों का साधारण योग नहीं, एकांतर योग है ।

किसी भाजक से विभाज्यता जाँचने का सबसे उपयोगी तरीक़ा उसे सह-अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ना है । यहाँ 88 = 8 × 11 है और 8 तथा 11 का कोई साझा गुणनखंड नहीं, इसलिए 88 से विभाज्यता का अर्थ है दोनों से विभाज्यता । आठ की कसौटी — अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो । ग्यारह की कसौटी — एकांतर स्थानों के अंकों के योगों का अंतर शून्य हो या 11 का गुणज हो, जिसे अंकों पर बारी-बारी धन और ऋण चिह्न लगाकर जोड़ने से भी निकाला जा सकता है । इसी तरह 4 के लिए अंतिम दो अंक, 3 और 9 के लिए अंकों का योग, 6 के लिए 2 और 3 दोनों, तथा 12 के लिए 3 और 4 दोनों की जाँच की जाती है ।

इस प्रश्न में दो कसौटियों का क्रम बहुत मायने रखता है । यदि पहले 8 की कसौटी लगाई जाए तो चार में से तीन विकल्प बच जाते हैं और काम आधा भी नहीं होता ; यदि पहले 11 की एकांतर-योग कसौटी लगाई जाए तो वह सीधे x = y की शर्त दे देती है और तीन विकल्प एक झटके में हट जाते हैं । सामान्य नियम यह है कि पहले वह कसौटी लगाइए जो अधिक विकल्प काटे । यह भी ध्यान रखिए कि प्रश्न 'संभव मान' पूछता है, इसलिए एक से अधिक हल की आशंका रहती है ; यहाँ बीजगणित से देखने पर हल एक ही निकलता है, क्योंकि x = y और 4 + 3x का 8 का गुणज होना, दोनों शर्तें एक साथ केवल x = 4 पर पूरी होती हैं ।

• 88 = 8 × 11, और 8 तथा 11 सह-अभाज्य हैं ; इसलिए 88 से विभाज्यता के लिए दोनों कसौटियाँ पूरी होनी चाहिए ।
• 8 की कसौटी — अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो ।
• 11 की कसौटी — अंकों पर बाएँ से बारी-बारी धन और ऋण चिह्न लगाकर जो योग बने, वह शून्य या 11 का गुणज हो ।
• इस संख्या में पहले छह अंकों का एकांतर योग शून्य है, इसलिए 11 की शर्त सिमटकर x = y रह जाती है ।
• 8 की शर्त 900 + 10x + y से निकलती है और 4 + 2x + y के रूप में लिखी जा सकती है ; x = y रखने पर वह 4 + 3x बन जाती है ।
• 78945944 ÷ 88 = 897113, इसलिए x = 4 और y = 4 इस प्रश्न का एकमात्र हल है ।

• केवल एक ही कसौटी लगाकर रुक जाना ; यहाँ 8 की कसौटी दो ग़लत विकल्पों को भी पार करा देती है ।
• 11 की कसौटी में अंकों का साधारण योग ले लेना ; वह एकांतर योग है ।
• एकांतर योग में चिह्नों का क्रम बीच में बदल देना ; किसी एक छोर से शुरू करके अंत तक वही क्रम रखिए ।
• 9 की कसौटी (अंकों का योग) को 11 की कसौटी समझ लेना ।

संख्या पद्धति के इस प्रारूप में प्रश्न प्रायः इसी तरह आता है — एक बड़ी संख्या, उसमें एक या दो अज्ञात अंक, और कोई संयुक्त भाजक जैसे 88, 99, 72 या 132 । हल का ढर्रा हर बार एक ही है : भाजक को सह-अभाज्य गुणनखंडों में तोड़िए, हर गुणनखंड की कसौटी अलग लगाइए, और जो कसौटी सबसे अधिक विकल्प काटे उसे पहले लगाइए । विकल्प दिए हों तो पूरा बीजगणित करने की आवश्यकता प्रायः नहीं पड़ती ; और यदि प्रश्न 'संभव मान' की भाषा में हो तो अंत में यह भी देख लीजिए कि हल एक है या अनेक ।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।

• practice — not a real PYQ

  यदि चार अंकों की संख्या 5x2y, 88 से विभाज्य है, जहाँ x और y अंक हैं, तो x और y के मान क्या हैं ?

  • (a)x = 5, y = 2
  • (b)x = 7, y = 0
  • (c)x = 6, y = 1
  • (d)x = 4, y = 3

  उत्तर(b) x = 7, y = 0 — संख्या 5720 बनती है और 5720 ÷ 88 = 65 ; शेष तीनों विकल्पों में या तो अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य नहीं होते या एकांतर योग 11 का गुणज नहीं बनता ।

• practice — not a real PYQ

  किसी संख्या के 11 से विभाज्य होने की कसौटी निम्नलिखित में से कौन-सी है ?

  • (a)उसके अंकों का योग 11 से विभाज्य हो
  • (b)एकांतर स्थानों के अंकों के योगों का अंतर शून्य हो या 11 का गुणज हो
  • (c)उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 11 से विभाज्य हो
  • (d)उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 11 से विभाज्य हो

  उत्तर(b) एकांतर स्थानों के अंकों के योगों का अंतर शून्य हो या 11 का गुणज हो — अंकों का साधारण योग 3 और 9 की कसौटी है, 11 की नहीं ।