EPFO EO/AO 2023 सामान्य योग्यता परीक्षण · प्रश्न 103 / 100

सही उत्तर — A, (a) ₹ 16 — दो अज्ञात राशियाँ हैं, इसलिए दो समीकरण चाहिए, और प्रश्न दोनों दे देता है । मान लीजिए एक कलम की कीमत p रुपये और एक पेंसिल की कीमत q रुपये है । पहली ख़रीद : 10p + 8q = 200 । दूसरी ख़रीद, जो 'उतनी ही राशि' में हो सकती थी : 5p + 24q = 200 । दोनों का दाहिना पक्ष एक ही है, इसलिए बायें पक्ष भी बराबर हैं : 10p + 8q = 5p + 24q, जिससे 5p = 16q । इसी एक पंक्ति में प्रश्न का सारा अर्थ छिपा है — पाँच कलम छोड़ने से जो पैसा बचता है, वह ठीक सोलह पेंसिलों के बराबर है । अब p = 16q/5 को पहले समीकरण में रखिए : 10 × (16q/5) + 8q = 32q + 8q = 40q = 200, इसलिए q = 5 और p = 16q/5 = 16 । दोनों ख़रीदों में जाँच लीजिए : 10 × 16 + 8 × 5 = 160 + 40 = 200, और 5 × 16 + 24 × 5 = 80 + 120 = 200 । दोनों ठीक बैठती हैं, इसलिए एक कलम की कीमत ₹ 16 है और एक पेंसिल की ₹ 5 । ध्यान दीजिए कि प्रश्न कलम की कीमत पूछ रहा है, पेंसिल की नहीं — यहाँ पेंसिल का 5 भी एक विकल्प के रूप में मौजूद है ।

• (b)₹ 15 — यदि एक कलम ₹ 15 की होती तो पहली ख़रीद से 150 + 8q = 200, यानी q = ₹ 6·25 निकलता । अब इन्हीं कीमतों पर दूसरी टोकरी का हिसाब लगाइए : 5 × 15 + 24 × 6·25 = 75 + 150 = ₹ 225 । वह ₹ 200 में मिलती ही नहीं, इसलिए यह जोड़ा प्रश्न की दूसरी शर्त तोड़ देता है । यह विकल्प उन अभ्यर्थियों के लिए है जो केवल पहला समीकरण लिखते हैं और दूसरी शर्त को केवल पृष्ठभूमि की बात समझ लेते हैं । दो अज्ञात के प्रश्न में दोनों शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए, किसी एक का पूरा होना उत्तर नहीं बनाता ।
• (c)₹ 14 — ₹ 14 मानने पर पहली ख़रीद देती है 140 + 8q = 200, यानी q = ₹ 7·5 । दूसरी टोकरी तब 5 × 14 + 24 × 7·5 = 70 + 180 = ₹ 250 की पड़ती है — ₹ 200 से पूरे पचास रुपये अधिक । एक उपयोगी बात यहाँ दिखती है : कलम की कीमत जितनी घटाई जाएगी, पेंसिल की कीमत उतनी बढ़ेगी, और चूँकि दूसरी टोकरी में पेंसिलें तीन गुनी हैं, उसका कुल मूल्य तेज़ी से बढ़ता जाएगा । इसीलिए 16 से नीचे का हर विकल्प दूसरी शर्त से और दूर होता चला जाता है ; यह एकदिष्ट व्यवहार ही बताता है कि हल केवल एक है ।
• (d)₹ 13 — ₹ 13 पर पहली ख़रीद से q = ₹ 8·75 आता है और दूसरी टोकरी 5 × 13 + 24 × 8·75 = 65 + 210 = ₹ 275 की हो जाती है, यानी शर्त से ₹ 75 दूर — चारों विकल्पों में सबसे दूर । संबंध 5p = 16q इसकी सीधी जाँच देता है : कलम और पेंसिल की कीमतों का अनुपात ठीक 16 : 5 होना चाहिए । 13 और 8·75 का अनुपात लगभग 1·49 : 1 है, जबकि चाहिए 3·2 : 1 । अनुपात की यह जाँच पूरी गणना दोहराए बिना ही तीनों ग़लत विकल्पों को एक साथ हटा देती है ।

दो अज्ञात राशियों वाले प्रश्न का ढाँचा यह है : प्रत्येक शर्त एक रैखिक समीकरण देती है, और दो स्वतंत्र समीकरण मिलकर एक ही हल देते हैं । यहाँ दोनों शर्तों का कुल मूल्य समान है, और यही सबसे तेज़ रास्ता खोल देता है — जब दो व्यंजक एक ही राशि के बराबर हों तो उन्हें आपस में बराबर रख दीजिए और एक अज्ञात तुरंत लुप्त हो जाती है । इस प्रश्न में वह चरण 10p + 8q = 5p + 24q देता है, जो सिमटकर 5p = 16q रह जाता है । इस समीकरण को शब्दों में पढ़ना सीखिए : पाँच कलमों की कीमत सोलह पेंसिलों की कीमत के बराबर है, अर्थात कलम और पेंसिल की कीमतों का अनुपात 16 : 5 है । अनुपात हाथ में आ जाने पर किसी भी एक समीकरण में प्रतिस्थापन करके वास्तविक कीमतें निकल आती हैं । यही विधि आयु, मिश्रण, कार्य और क्रय-विक्रय के प्रश्नों में बार-बार लौटती है ।

यह प्रश्न भाग B के अंतिम संख्यात्मक खंड का तीसरा प्रश्न है और इसे रैखिक समीकरण-युग्म का पाठ्यपुस्तकीय उदाहरण कहा जा सकता है । रचना में एक सुविचारित जाल है : प्रश्न 'प्रत्येक कलम की कीमत' पूछता है, पर हल में पेंसिल की कीमत ₹ 5 भी निकलती है, और जल्दबाज़ी में अभ्यर्थी वही उठा सकता है — यद्यपि यहाँ 5 विकल्पों में नहीं है, यह आदत दूसरे प्रश्नों में महँगी पड़ती है । संख्याएँ भी जान-बूझकर ऐसी चुनी गई हैं कि उत्तर पूर्णांक आए, जबकि तीनों ग़लत विकल्पों पर पेंसिल की कीमत दशमलव में जाती है । अंग्रेज़ी स्तंभ में 'of same types' अनुच्छेदहीन रूप में छपा है — व्याकरण की दृष्टि से 'of the same type' अपेक्षित होता — जबकि हिन्दी स्तंभ 'उसी प्रकार की' लिखकर बात साफ़ कह देता है । अर्थ पर इसका कोई प्रभाव नहीं पड़ता ; दोनों स्तंभ एक ही प्रश्न पूछते हैं । रुपये का चिह्न विकल्पों में भी छपा है — ₹ 16 — इसलिए उत्तर इकाई सहित पढ़िए ।

• प्रश्न के दो समीकरण : 10p + 8q = 200 और 5p + 24q = 200, जहाँ p एक कलम की और q एक पेंसिल की कीमत है । दोनों का कुल मूल्य समान होना ही हल की कुंजी है ।
• दोनों बायें पक्षों को बराबर रखने पर 5p = 16q मिलता है, अर्थात पाँच कलमों की कीमत सोलह पेंसिलों के बराबर है और कीमतों का अनुपात 16 : 5 है ।
• प्रतिस्थापन से 40q = 200, इसलिए q = ₹ 5 और p = ₹ 16 । जाँच : 10 × 16 + 8 × 5 = 200 तथा 5 × 16 + 24 × 5 = 200 — दोनों शर्तें पूरी ।
• उत्तर की जाँच का सामान्य नियम : दो अज्ञात वाले प्रश्न में कोई हल तभी सही है जब वह दोनों शर्तें एक साथ संतुष्ट करे ; केवल एक शर्त पर खरा उतरना पर्याप्त नहीं ।
• इस प्रश्न में तीनों ग़लत विकल्पों पर दूसरी टोकरी की कीमत ₹ 200 से बढ़ जाती है — ₹ 15 पर 225, ₹ 14 पर 250 और ₹ 13 पर 275 — इसलिए प्रतिस्थापन से वे तुरंत गिर जाते हैं ।
• पढ़ने की सावधानी : प्रश्न कलम की कीमत माँगता है । ऐसे प्रश्नों में दूसरी अज्ञात राशि का मान भी हल में निकल आता है और विकल्पों में रख दिया जाता है, इसलिए अंत में प्रश्न की अंतिम पंक्ति दोबारा पढ़िए ।

• केवल पहली शर्त से समीकरण बनाकर विकल्प चुन लेना । एक समीकरण दो अज्ञात के लिए अनंत हल देता है ; दूसरी शर्त ही हल को एक बिंदु पर बाँधती है ।
• प्रश्न की अंतिम पंक्ति छोड़ देना । हल में कलम और पेंसिल दोनों की कीमतें निकलती हैं, पर पूछा केवल कलम का मूल्य गया है ।
• 'उतनी ही राशि में खरीद सकता था' को अलग बजट समझ लेना । यह वाक्य कहता है कि दूसरी टोकरी का कुल मूल्य भी ठीक ₹ 200 है, और यही दूसरा समीकरण बनाता है ।
• विलोपन करते समय दाहिने पक्ष को घटाना भूल जाना । यहाँ दोनों ओर 200 है, इसलिए घटाने पर शून्य बचता है और 5p − 16q = 0 मिलता है ।

इस प्रकरण के प्रश्न प्रायः तीन साँचों में आते हैं । पहला — दो टोकरियों की कुल कीमतें देकर किसी एक वस्तु का मूल्य पूछा जाए, जैसा यहाँ है ; इसमें कभी दोनों कुल मूल्य समान होते हैं और कभी अलग-अलग । दूसरा — कुल मूल्य के बजाय अंतर दिया जाए, जैसे 'तीन कलमें दो पेंसिलों से ₹ 20 महँगी हैं' ; तब समीकरण घटाव के रूप में बनता है । तीसरा — केवल अनुपात पूछा जाए, जिसमें वास्तविक कीमतें निकालने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती । वस्तुनिष्ठ परीक्षा में सबसे तेज़ रास्ता प्रायः विकल्पों का प्रतिस्थापन होता है : कोई एक विकल्प मानकर दूसरी अज्ञात राशि निकालिए और दूसरी शर्त पर जाँचिए । चूँकि विकल्प चार ही हैं और गणना दो पंक्तियों की, यह विधि पूरा समीकरण-युग्म हल करने से प्रायः कम समय लेती है ।

इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।

• practice — not a real PYQ

  कोई व्यक्ति छह कलमें और चार पेंसिलें ₹ 80 में खरीदता है । उतनी ही राशि में वह उसी प्रकार की दो कलमें और बारह पेंसिलें भी खरीद सकता था । एक पेंसिल की कीमत रुपयों में क्या है ?

  • (a)₹ 4
  • (b)₹ 5
  • (c)₹ 6
  • (d)₹ 8

  उत्तर(b) ₹ 5 — 6p + 4q = 2p + 12q देता है 4p = 8q, यानी p = 2q ; तब 6(2q) + 4q = 16q = 80, इसलिए q = ₹ 5 और p = ₹ 10 । जाँच : 6 × 10 + 4 × 5 = 80 तथा 2 × 10 + 12 × 5 = 80 ।

• practice — not a real PYQ

  तीन कुर्सियों और दो मेज़ों की कुल कीमत ₹ 700 है, तथा पाँच कुर्सियों और तीन मेज़ों की कुल कीमत ₹ 1,100 है । एक मेज़ की कीमत कितने रुपये है ?

  • (a)₹ 100
  • (b)₹ 150
  • (c)₹ 200
  • (d)₹ 250

  उत्तर(c) ₹ 200 — पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा कीजिए : 9c + 6t = 2,100 और 10c + 6t = 2,200 ; घटाने पर c = ₹ 100, और 3 × 100 + 2t = 700 से t = ₹ 200 ।