एक पात्र X में, तेल और पानी का मिश्रण 1 : 3 के अनुपात में है, जबकि पात्र Y में तेल और पानी का मिश्रण 2 : 3 के अनुपात में है। यदि पात्र X में से 2 लीटर द्रव और पात्र Y में से 5 लीटर द्रव को पात्र Z में, जिसमें पहले से 1 लीटर शुद्ध तेल है, एक साथ मिलाए जाएँ, तो पात्र Z में कितना प्रतिशत तेल है?
- (a)41·25
- (b)42·75
- (c)43·75
- (d)44·25
सही उत्तर — C, (c) 43·75 — पात्र Z में कुल 8 लीटर द्रव जाता है और उसमें तेल ठीक 3·5 लीटर होता है, इसलिए तेल का प्रतिशत 3·5 ÷ 8 × 100 = 43·75 है। मिश्रण के प्रश्न में सबसे पहले हर स्रोत का तेल-अंश निकाल लीजिए, अनुपात को वहीं भिन्न में बदल दीजिए। पात्र X में तेल और पानी 1 : 3 हैं, इसलिए तेल पूरे द्रव का 1/4 है, 1/3 नहीं — यही इस प्रकार के प्रश्नों की सबसे आम फिसलन है। X से लिए गए 2 लीटर में तेल = 2 × 1/4 = 0·5 लीटर। पात्र Y में तेल और पानी 2 : 3 हैं, इसलिए तेल 2/5 है। Y से लिए गए 5 लीटर में तेल = 5 × 2/5 = 2 लीटर। पात्र Z में पहले से 1 लीटर शुद्ध तेल पड़ा है, अर्थात् वह पूरा का पूरा तेल गिना जाएगा — और वही इस प्रश्न में जोड़ा गया मोड़ है, क्योंकि वह हर (denominator) में भी जुड़ता है और अंश में भी। कुल तेल = 0·5 + 2 + 1 = 3·5 लीटर। कुल द्रव = 2 + 5 + 1 = 8 लीटर। प्रतिशत = (3·5/8) × 100 = 43·75। एक बहुत तेज़ जाँच भी यहाँ मौजूद है। तीनों स्रोतों से आया तेल — 0·5, 2 और 1 — आधे लीटर का पूरा गुणज है, इसलिए कुल तेल भी आधे लीटर का गुणज होगा, और 8 लीटर में आधा लीटर तेल का अर्थ है ठीक 6·25 प्रतिशत। यानी उत्तर 6·25 का गुणज ही हो सकता है : 37·5, 43·75, 50 इत्यादि। चारों विकल्पों में केवल 43·75 इस कसौटी पर खरा उतरता है — शेष तीन 6·25 के गुणज हैं ही नहीं। पूरी गणना किए बिना भी यह तर्क उत्तर तक पहुँचा देता है।
- (a)41·25 — विकल्प को वापस लीटर में बदलकर देखिए — यही इस प्रश्न में हर ग़लत विकल्प को पकड़ने का सबसे साफ़ तरीका है। 8 लीटर का 41·25 प्रतिशत 3·3 लीटर होता है। पर इस प्रश्न में तेल केवल तीन जगहों से आ रहा है — X से 0·5, Y से 2 और Z का अपना 1 — और इन तीनों में से कोई भी संयोजन 3·3 नहीं बनाता, क्योंकि तीनों राशियाँ आधे लीटर के गुणज हैं और उनका योग भी आधे लीटर का गुणज ही होगा। 3·3 आधे लीटर का गुणज नहीं है। ध्यान रखने की बात यह भी है कि यह संख्या सही उत्तर के इतने पास है कि अनुमान से काम नहीं चलेगा : चारों विकल्प 41 से 45 के बीच बिछाए गए हैं, जबकि मिश्रण का तर्क बताता है कि उत्तर लगभग 34 से 48 प्रतिशत के बीच कहीं भी हो सकता था। यानी विकल्प-निर्माता ने अनुमान लगाने की सारी जगह जान-बूझकर बंद कर दी है, और गणना करनी ही पड़ेगी।
- (b)42·75 — 8 लीटर का 42·75 प्रतिशत 3·42 लीटर बैठता है — फिर वही बात, आधे लीटर का गुणज नहीं, इसलिए इस प्रश्न की संरचना से यह संख्या निकल ही नहीं सकती। इस विकल्प का असली काम उस अभ्यर्थी को पकड़ना है जो जल्दबाज़ी में हर में से Z का 1 लीटर छोड़ देता है या भिन्नों को दशमलव में बदलते समय एक अंक इधर-उधर कर देता है। एक अच्छी आदत यहीं बना लीजिए : मिश्रण के प्रश्न में अंश और हर दोनों को अलग-अलग लिखकर पहले हर जोड़िए, क्योंकि जो द्रव पात्र में पहले से पड़ा है वह हर में जुड़ना भूल जाना सबसे आम भूल है। इस प्रश्न में हर 2 + 5 + 1 = 8 है, 7 नहीं; यदि आपने 7 लिया होता तो उत्तर 50 प्रतिशत आता, जो विकल्पों में है ही नहीं — और यही आपको तुरंत सचेत कर देता।
- (d)44·25 — 8 लीटर का 44·25 प्रतिशत 3·54 लीटर है, और यह भी आधे लीटर का गुणज नहीं। यह सही उत्तर 43·75 से केवल 0·5 प्रतिशत बिंदु ऊपर बैठा है, इसलिए यह उस अभ्यर्थी के लिए है जिसने गणना तो ठीक की पर अंतिम दशमलव में गड़बड़ की, या जिसने 3·5/8 को 0·44 मान लिया। 3·5/8 का सही दशमलव 0·4375 है — इसे याद रखने का सरल तरीका यह है कि 1/8 = 0·125, इसलिए 7/8 = 0·875, और 3·5/8 उसका आधा, अर्थात् 0·4375। आठवें भागों की यह छोटी तालिका (0·125, 0·25, 0·375, 0·5, 0·625, 0·75, 0·875) मिश्रण और प्रतिशत के प्रश्नों में बार-बार काम आती है और इसे कंठस्थ कर लेना समय बचाता है।
मिश्रण के प्रश्न का पूरा ढाँचा दो पंक्तियों का है : हर स्रोत से आया 'शुद्ध घटक' जोड़िए, हर स्रोत से आया 'कुल द्रव' जोड़िए, और भाग दे दीजिए। अनुपात को भिन्न में बदलने का नियम याद रखिए — यदि तेल : पानी = m : n है तो तेल का अंश m/(m+n) है, m/n नहीं। इस प्रश्न में X के लिए 1/(1+3) = 1/4 और Y के लिए 2/(2+3) = 2/5। शुद्ध तेल को एक ऐसा मिश्रण मानिए जिसमें तेल का अंश 1 है, तब वह भी उसी सूत्र में समा जाता है। इसे भारित औसत की तरह भी देख सकते हैं : 2 लीटर पर 25 प्रतिशत, 5 लीटर पर 40 प्रतिशत और 1 लीटर पर 100 प्रतिशत का भारित औसत = (2×25 + 5×40 + 1×100)/8 = (50 + 200 + 100)/8 = 350/8 = 43·75। दोनों रास्ते एक ही जगह पहुँचते हैं, और भारित औसत वाला रूप तब अधिक उपयोगी हो जाता है जब पात्र दो नहीं, चार-पाँच हों।
इस प्रश्न में जो चीज़ें सबसे अधिक अंक गँवाती हैं वे गणित की नहीं, पढ़ने की भूलें हैं। पहली — अनुपात 1 : 3 को 'एक तिहाई' पढ़ लेना। दूसरी — पात्र Z में पहले से रखे 1 लीटर तेल को केवल अंश में जोड़ना और हर में जोड़ना भूल जाना। तीसरी — 'एक साथ मिलाए जाएँ' पढ़कर यह मान लेना कि क्रम या समय से कोई फ़र्क़ पड़ता है; नहीं पड़ता, अंत में केवल कुल तेल और कुल द्रव मायने रखते हैं। छपाई की एक बात भी नोट कर लीजिए : इस पुस्तिका में दशमलव बिंदु सामान्य बिंदु नहीं, ऊपर उठा हुआ मध्य-बिंदु है, इसलिए 41·25 का अर्थ 41.25 ही है और चर X, Y, Z तिरछे अक्षरों में छपे हैं। यह इसी प्रश्नपत्र के अन्य संख्यात्मक प्रश्नों में भी दिखता है, इसलिए एक बार देख लेने पर आगे चौंकना नहीं पड़ता।
- अनुपात m : n में पहले घटक का अंश m/(m+n) होता है — 1 : 3 का अर्थ 1/4 है, 1/3 नहीं।
- पात्र X से 2 लीटर में तेल = 2 × 1/4 = 0·5 लीटर; पात्र Y से 5 लीटर में तेल = 5 × 2/5 = 2 लीटर; Z का अपना शुद्ध तेल = 1 लीटर।
- कुल तेल 3·5 लीटर और कुल द्रव 8 लीटर, इसलिए तेल का प्रतिशत (3·5/8) × 100 = 43·75।
- भारित औसत से भी वही उत्तर : (2×25 + 5×40 + 1×100)/8 = 350/8 = 43·75।
- यहाँ हर स्रोत का तेल आधे लीटर का गुणज है और कुल द्रव 8 लीटर है, इसलिए उत्तर 6·25 प्रतिशत का गुणज होना ही चाहिए — चारों विकल्पों में केवल 43·75 यह शर्त पूरी करता है।
- आठवें भागों की तालिका : 1/8 = 0·125, 2/8 = 0·25, 3/8 = 0·375, 5/8 = 0·625, 7/8 = 0·875 — मिश्रण और प्रतिशत में बार-बार काम आती है।
- पुस्तिका दशमलव बिंदु को ऊपर उठे मध्य-बिंदु के रूप में छापती है और चर X, Y, Z तिरछे अक्षरों में हैं।
- 1 : 3 को 1/3 पढ़ लेना; तेल का अंश 1/4 है।
- पात्र Z में पहले से रखे 1 लीटर शुद्ध तेल को हर में जोड़ना भूल जाना; तब उत्तर 50 प्रतिशत आता है, जो विकल्पों में है ही नहीं।
- पात्र X और Y के अनुपात आपस में बदल देना; X का 1 : 3 और Y का 2 : 3 — दोनों में पानी का पद 3 है, इसलिए आँख फिसलती है।
- चारों विकल्प 41 से 45 के बीच रखे गए हैं, इसलिए अनुमान से काम नहीं चलेगा; पूरी गणना या गुणज वाला तर्क अनिवार्य है।
- ऊपर उठे मध्य-बिंदु को गुणन-चिह्न या किसी और संकेत के रूप में पढ़ लेना; वह केवल दशमलव बिंदु है।
मिश्रण से प्रश्न मुख्यतः चार रूपों में आते हैं। पहला यही है — दो या अधिक पात्रों से ज्ञात मात्रा लेकर मिलाना और अंतिम सांद्रता पूछना; इसका हल हमेशा 'शुद्ध घटक जोड़ो, कुल जोड़ो, भाग दो' है। दूसरा उल्टा है : अंतिम सांद्रता दी जाती है और पूछा जाता है कि दोनों को किस अनुपात में मिलाया गया — वहाँ एलिगेशन का नियम सीधे उत्तर दे देता है। तीसरा रूप बार-बार निकालने और पानी भरने का है, जहाँ घातांक वाला सूत्र लगता है। चौथा रूप शुद्ध द्रव जोड़ने का है : कितना तेल और मिलाया जाए कि अनुपात अमुक हो जाए, जहाँ केवल एक पद बदलता है और दूसरा स्थिर रहता है। चारों में एक ही सावधानी सबसे अधिक अंक बचाती है — हर बार लिखकर तय कीजिए कि हर में क्या-क्या जुड़ रहा है, क्योंकि प्रश्न-निर्माता का पसंदीदा जाल हर में ही बिछा होता है।
इस प्रश्न से सीधे संबंधित कोई पूर्व PYQ उपलब्ध नहीं।
- practice — not a real PYQ
पात्र P में तेल और पानी 1 : 4 के अनुपात में हैं तथा पात्र Q में 3 : 2 के अनुपात में। यदि P में से 5 लीटर और Q में से 5 लीटर द्रव एक खाली पात्र में मिला दिए जाएँ, तो नए मिश्रण में तेल कितने प्रतिशत होगा?
- (a)30
- (b)35
- (c)40
- (d)45
उत्तर(c) 40
- practice — not a real PYQ
8 लीटर के एक मिश्रण में तेल और पानी 1 : 3 के अनुपात में हैं। इसमें कितने लीटर शुद्ध तेल और मिलाया जाए कि तेल और पानी बराबर हो जाएँ?
- (a)2
- (b)3
- (c)4
- (d)6
उत्तर(c) 4