BPSC 70वीं CCE पुनर्परीक्षा प्रारंभिक सामान्य अध्ययन · प्रश्न 90 / 142

सही — (d) eV। विभवान्तर की परिभाषा ही प्रति एकांक आवेश किया गया कार्य है, V = W/q, इसलिए किसी आवेश q को विभवान्तर V के आर-पार ले जाने पर उस पर W = qV कार्य होता है। यहाँ आवेश e कूलम्ब है और विभवान्तर V वोल्ट, इसलिए किया गया कार्य eV जूल है। चूँकि इलेक्ट्रॉन स्थिर अवस्था से चलता है, उसकी आरम्भिक गतिज ऊर्जा शून्य है, और कार्य-ऊर्जा प्रमेय से वह पूरा कार्य गतिज ऊर्जा के रूप में प्रकट होता है: अन्तिम ऊर्जा = eV। यही पूरी व्युत्पत्ति है, और इसमें द्रव्यमान कहीं आता ही नहीं। द्रव्यमान तभी आता है जब आप एक क़दम आगे बढ़कर चाल पूछें: गतिज ऊर्जा ½Mv² को eV के बराबर रखकर हल करने पर v = √(2eV/M) मिलता है। प्रश्न बनाने वाले ने वही आधा-याद सूत्र जान-बूझकर विकल्प-सूची में रखा है। अकेला विमीय विश्लेषण बिना किसी भौतिकी के शेष तीनों को मार देता है। कूलम्ब × वोल्ट = जूल, इसलिए ऊर्जा की विमा केवल (d) की है। कूलम्ब प्रति वोल्ट फ़ैराड होता है, जो धारिता का मात्रक है, अर्थात् (a) e/V एक धारिता है। (c) eV/M जूल प्रति किलोग्राम है, अर्थात् प्रति एकांक द्रव्यमान ऊर्जा — वही विमा जो चाल के वर्ग की है, और वास्तव में eV/M का मान ½v² है, अर्थात् प्रति किलोग्राम ढोई गई गतिज ऊर्जा, न कि वह ऊर्जा जो प्रश्न माँगता है। (b) MeV ऊर्जा को द्रव्यमान से गुणा करता है और जूल-किलोग्राम देता है। मुद्रण भी लक्ष्य कीजिए: पुस्तिका में (A) तथा (C) खड़ी भिन्नों के रूप में छपे हैं, e के नीचे V और eV के नीचे M, जिसे हमारा प्रतिलेखन e/V तथा eV/M में सपाट कर देता है — (C) eV/M और (D) eV सचमुच अलग-अलग विकल्प हैं, एक ही वस्तु के दो रूप नहीं। चूँकि (d) ठीक-ठीक सही है, इसलिए यह मुद्रण-विशेषता प्रश्न को हानि नहीं पहुँचाती। एक बात और: हिन्दी स्तम्भ 'भार' छापता है जहाँ द्रव्यमान अभिप्रेत है, और साथ लगी इकाई कि. ग्रा. स्वयं यह स्पष्ट कर देती है; यह भी जैसा छपा है वैसा ही रखा गया है।

• (a)e/V — पुस्तिका में यह e के नीचे V के रूप में छपा है। आवेश को विभवान्तर से भाग देने पर कूलम्ब प्रति वोल्ट मिलता है, जो फ़ैराड है — धारिता का मात्रक, ऊर्जा का नहीं। यह विकल्प उस अभ्यर्थी के लिए है जिसे याद है कि सूत्र में e और V साथ आते हैं पर यह याद नहीं कि किस क्रम में; परिभाषा V = W/q को पलटने पर W = qV बनता है, अर्थात् गुणनफल, भागफल कभी नहीं।
• (b)MeV — दोहरा जाल। बीजगणित के रूप में यह M × e × V है, द्रव्यमान गुणा आवेश गुणा विभव, जिसके मात्रक किलोग्राम-जूल होंगे — कोई ऊर्जा नहीं। प्रतीक के रूप में 'MeV' कण भौतिकी में मेगाइलेक्ट्रॉनवोल्ट का मानक संक्षेप है, जो सचमुच ऊर्जा है, इसलिए जो अभ्यर्थी बीजगणित के बजाय ये तीन अक्षर पढ़ लेता है वह स्वयं को यह विश्वास दिला सकता है कि विमा की दृष्टि से यही सही आकार है।
• (c)eV/M — यह eV के नीचे M के रूप में छपा है, और यही सबसे प्रबल ग़लत उत्तर है। यह उस हर व्यक्ति के लिए जाल है जो चाल के सूत्र v = √(2eV/M) की ओर हाथ बढ़ाता है और बीच में ही रुक जाता है: eV/M का मान ½v² है, अर्थात् जूल प्रति किलोग्राम में प्रति एकांक द्रव्यमान ऊर्जा, एक विशिष्ट ऊर्जा। प्रश्न जूल में अन्तिम ऊर्जा माँगता है, प्रति किलोग्राम ऊर्जा नहीं, और द्रव्यमान से भाग देना ठीक वही क़दम है जिसकी कार्य-ऊर्जा प्रमेय को आवश्यकता ही नहीं।

विद्युत् विभव की परिभाषा प्रति एकांक आवेश स्थितिज ऊर्जा है, और वोल्ट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि एक कूलम्ब को एक वोल्ट के आर-पार ले जाने में एक जूल कार्य हो। इस कार्ड का सब कुछ उसी एक परिभाषा से निकलता है। स्थिर अवस्था से छोड़ा गया आवेश q जब विभवान्तर V से होकर गिरता है तब विद्युत् क्षेत्र उस पर qV कार्य करता है, और चूँकि यह क्षेत्र संरक्षी है, वह कार्य ठीक-ठीक स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा की हानि है, जो गतिज ऊर्जा के रूप में फिर प्रकट हो जाती है। यह उसी बात का विद्युत् रूप है जो किसी पत्थर के h ऊँचाई से गिरकर mgh गतिज ऊर्जा के साथ पहुँचने में होती है — क्षेत्र कार्य करता है, पिण्ड चाल पकड़ता है, और पिण्ड कौन है यह तभी मायने रखता है जब आपको ऊर्जा नहीं, चाल चाहिए। मात्रक के रूप में इलेक्ट्रॉनवोल्ट का उद्गम भी यही है: एक इलेक्ट्रॉनवोल्ट वह ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को एक वोल्ट से गिरने पर मिलती है। चूँकि 2019 में SI के पुनर्निर्धारण ने मूल आवेश को ठीक 1.602176634 × 10⁻¹⁹ कूलम्ब पर नियत कर दिया, इसलिए एक इलेक्ट्रॉनवोल्ट ठीक 1.602176634 × 10⁻¹⁹ जूल है। भौतिकविद् कणों की ऊर्जा eV, keV, MeV, GeV तथा TeV में इसीलिए बताते हैं कि वे संख्याएँ त्वरक की वोल्टता ही हैं, और यही कारण है कि '100 kV पर चलने वाली एक्स-किरण नलिका' और '100 keV तक की एक्स-किरणें' एक ही बात दो बार कहती हैं।

इस आकार का हर प्रश्न दो आदतों से हल हो जाता है। पहली यह कि कोई भी भौतिकी करने से पहले मात्रक जाँच लीजिए: कूलम्ब × वोल्ट = जूल लिख डालिए और उत्तर पहले ही अलग हो जाता है, क्योंकि शेष तीन संयोजनों में से कोई ऊर्जा है ही नहीं। जिन अभ्यर्थियों को यह याद नहीं आता कि सूत्र में द्रव्यमान आता है या नहीं, वे भी इसी रास्ते लगभग दस सेकण्ड में (d) तक पहुँच सकते हैं, और यही बात विमीय विश्लेषण को विषय के बजाय एक तकनीक के रूप में अभ्यास करने योग्य बनाती है। दूसरी आदत यह है कि ठीक-ठीक देखिए कि प्रश्न माँगता क्या है — ऊर्जा या चाल। ऊर्जा द्रव्यमान से स्वतन्त्र है: एक ही 1,000 वोल्ट से त्वरित प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन, दोनों 1,000 eV पाते हैं। चाल स्वतन्त्र नहीं है: v = √(2eV/M), इसलिए कहीं हल्का इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन से लगभग 43 गुना तेज़ निकलता है। संख्या में, 1 वोल्ट से गिरा इलेक्ट्रॉन लगभग 5.9 × 10⁵ मीटर प्रति सेकण्ड, अर्थात् लगभग 593 किमी/से. तक पहुँचता है, और 10,000 वोल्ट से लगभग 5.9 × 10⁷ मी./से. तक, जो प्रकाश की चाल का लगभग पाँचवाँ भाग है — और वहीं से न्यूटनीय सूत्र चाल को कम बताने लगता है तथा आपेक्षिकीय विवेचन आवश्यक हो जाता है। पर ऊर्जा का व्यंजक eV हर वोल्टता पर यथावत् सही रहता है, क्योंकि वह वोल्ट की परिभाषा से आता है, द्रव्यमान और चाल के किसी प्रतिमान से नहीं।

• विभवान्तर प्रति एकांक आवेश किया गया कार्य है, V = W/q, इसलिए V के आर-पार जाते आवेश q पर किया गया कार्य W = qV है; यहाँ इलेक्ट्रॉन के लिए W = eV जूल।
• कार्य-ऊर्जा प्रमेय देती है कि अन्तिम गतिज ऊर्जा घटा आरम्भिक गतिज ऊर्जा = किया गया कार्य; इलेक्ट्रॉन स्थिर अवस्था से चलता है, इसलिए उसकी अन्तिम ऊर्जा पूरा eV है।
• एक इलेक्ट्रॉनवोल्ट वह ऊर्जा है जो एक वोल्ट से त्वरित इलेक्ट्रॉन को मिलती है, और 20 मई 2019 के SI पुनर्निर्धारण द्वारा मूल आवेश नियत हो जाने के बाद वह ठीक 1.602176634 × 10⁻¹⁹ जूल है।
• द्रव्यमान केवल चाल के रास्ते आता है: v = √(2eV/M)। लगभग 9.11 × 10⁻³¹ किग्रा द्रव्यमान वाला इलेक्ट्रॉन 1 वोल्ट से त्वरित होकर लगभग 5.9 × 10⁵ मी./से. तक पहुँचता है।
• चारों विकल्पों की विमाएँ: कूलम्ब × वोल्ट = जूल (ऊर्जा); कूलम्ब ÷ वोल्ट = फ़ैराड (धारिता); जूल ÷ किलोग्राम = विशिष्ट ऊर्जा, जो चाल के वर्ग के बराबर है; और जूल × किलोग्राम सामान्य प्रयोग में कोई भौतिक राशि नहीं है।

• द्रव्यमान इसलिए घसीट लाना कि प्रश्न ने उसका उल्लेख किया है। प्रश्न M इसलिए देता है कि ग़लत विकल्प उसका उपयोग कर सकें; ऊर्जा के व्यंजक में वह है ही नहीं और कभी था भी नहीं।
• बीजगणितीय गुणनफल 'MeV' को मेगाइलेक्ट्रॉनवोल्ट MeV से गड्डमड्ड कर लेना। परीक्षा बीजगणित जाँच रही है, प्रतीक नहीं।
• जब प्रश्न ऊर्जा माँगे तब eV/M से उत्तर देना। वह जूल प्रति किलोग्राम में विशिष्ट ऊर्जा है — वही राशि जो ½v² है, और चाल के सूत्र से एक क़दम पीछे।

BPSC का विज्ञान एक सूत्र, एक प्रतिस्थापन और चार व्यंजक होता है — प्रायः अक्षर प्रश्न में ही दे दिए जाते हैं ताकि किसी संख्या की आवश्यकता ही न पड़े, और जनवरी 2025 की इस पुनर्परीक्षा में उत्तर दिए हुए दो प्रतीकों का गुणनफल भर है। UPSC नंगा सूत्र लगभग कभी नहीं देता; वह पूछता है कि यह भौतिकी संसार में कहाँ दिखती है, जैसे 2009 में उप-परमाणविक कणों को प्रकाश की चाल के लगभग बराबर तक त्वरित करने वाला प्रश्न, इसलिए वही ज्ञान अनुप्रयुक्त रूप में ढोना पड़ता है।

• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  एक इलेक्ट्रॉनवोल्ट लगभग किसके बराबर है ?

  • (a)1.6 × 10⁻¹⁹ जूल
  • (b)1.6 × 10⁻¹⁹ वाट
  • (c)9.1 × 10⁻³¹ जूल
  • (d)6.6 × 10⁻³⁴ जूल

  उत्तर(a) 1.6 × 10⁻¹⁹ जूल — 2019 में मूल आवेश के परिभाषा द्वारा नियत हो जाने के बाद ठीक 1.602176634 × 10⁻¹⁹ जूल। 9.1 × 10⁻³¹ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान किलोग्राम में है और 6.6 × 10⁻³⁴ प्लांक नियतांक जूल-सेकण्ड में।

• अभ्यास प्रश्न — वास्तविक PYQ नहीं

  एक प्रोटॉन तथा एक इलेक्ट्रॉन, दोनों को स्थिर अवस्था से एक ही विभवान्तर के आर-पार त्वरित किया जाता है। निम्नलिखित में से क्या सही है ?

  • (a)दोनों समान गतिज ऊर्जा तथा समान चाल पाते हैं
  • (b)दोनों समान गतिज ऊर्जा पाते हैं, पर इलेक्ट्रॉन अधिक तेज़ निकलता है
  • (c)दोनों समान चाल तक पहुँचते हैं, पर प्रोटॉन अधिक गतिज ऊर्जा पाता है
  • (d)प्रोटॉन अधिक गतिज ऊर्जा भी पाता है और अधिक तेज़ भी चलता है

  उत्तर(b) दोनों समान गतिज ऊर्जा पाते हैं, पर इलेक्ट्रॉन अधिक तेज़ निकलता है — ऊर्जा qV केवल आवेश पर निर्भर है, जो दोनों के लिए परिमाण में बराबर है, जबकि चाल √(2qV/m) द्रव्यमान पर निर्भर है, और प्रोटॉन लगभग 1,836 गुना भारी है।