m द्रव्यमान के एक धातु के गोले X को, A स्थिति से छोड़ा जाता है । यह सर्वसम दूसरे गोले Y से, जिसे एक क्षैतिज घर्षण रहित मेज पर विराम अवस्था में B स्थिति पर रखा गया है, प्रत्यास्थतया टकराता है । कोण AOB = 30° है : टकराने के तत्काल बाद, गोला X कितना ऊँचा उठेगा ?
- (a)उसी ऊँचाई तक जो समान प्रक्षेप-पथ पर दूसरी ओर A की स्थिति है
- (b)उस आधी ऊँचाई तक जो समान प्रक्षेप-पथ पर दूसरी ओर A की स्थिति है
- (c)A स्थिति पर समान ऊँचाई
- (d)यह B स्थिति पर रुक जाता है
सही — D, गोला X, B स्थिति पर रुक जाता है । जब समान द्रव्यमान के दो पिंडों की एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर हो और लक्ष्य आरंभ में विराम में हो, तो वे बस अपने वेग आपस में बदल लेते हैं: आता हुआ पिंड विराम में आ जाता है और टकराया गया पिंड आने वाले पिंड की चाल से चल पड़ता है । संवेग संरक्षण (mu = m*v_X + m*v_Y) और गतिज ऊर्जा संरक्षण — दोनों मिलकर समान द्रव्यमानों के लिए v_X = 0 और v_Y = u पर विवश कर देते हैं । अतः जिस क्षण X सर्वसम स्थिर गोले Y से टकराता है, वह अपना पूरा वेग Y को सौंपकर B पर विराम में रह जाता है; शून्य चाल के साथ वह चढ़ नहीं सकता, इसलिए वह बिल्कुल ऊपर नहीं उठता, और उसके स्थान पर Y झूल जाता है ।
- (a)उसी ऊँचाई तक जो समान प्रक्षेप-पथ पर दूसरी ओर A की स्थिति है — इसके लिए X को अपनी मूल चाल से लौटना पड़ता, जो तभी होता है जब वह किसी स्थिर दीवार या कहीं भारी पिंड से टकराए — किसी सर्वसम मुक्त गोले से नहीं, जो वेग को अपने साथ ले जाता है ।
- (b)उस आधी ऊँचाई तक जो समान प्रक्षेप-पथ पर दूसरी ओर A की स्थिति है — ऐसा कोई बँटवारा नहीं होता जिससे X के पास आधी चाल बच रहे; समान द्रव्यमानों की प्रत्यास्थ टक्कर पूरा वेग Y को दे देती है, अतः X के पास कुछ भी नहीं बचता ।
- (c)A स्थिति पर समान ऊँचाई — X केवल तभी A की ऊँचाई तक लौटता जब वह पूरी चाल से सीधा वापस उछलता; यहाँ वह रुक जाता है, इसलिए वह न लौटता है और न ऊपर उठता है ।
पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा — दोनों संरक्षित रहते हैं । समान द्रव्यमानों वाली विशेष स्थिति में, जहाँ एक पिंड विराम में हो, ये दोनों संरक्षण नियम एक स्वच्छ परिणाम देते हैं: दोनों पिंड अपने वेग आपस में बदल लेते हैं ।
यही न्यूटन के झूले (Newton's cradle) की भौतिकी है । जाल यह है कि X से यह अपेक्षा की जाए कि वह दीवार की तरह वापस उछलेगा, या गति को आपस में बाँट लेगा; इसके बजाय, सर्वसम साथी के साथ वह अपनी पूरी चाल सौंपकर रुक जाता है ।
- प्रत्यास्थ टक्कर में संवेग के साथ-साथ गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रहती है; अप्रत्यास्थ टक्कर में गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती ।
- विराम में रखे लक्ष्य के साथ समान द्रव्यमानों की एक-विमीय प्रत्यास्थ टक्कर में पिंड अपने वेग आपस में बदल लेते हैं — आपतित पिंड रुक जाता है और लक्ष्य आपतित चाल से चल पड़ता है ।
- यही वेग-विनिमय न्यूटन के झूले को काम करने योग्य बनाता है: एक गेंद भीतर झूलती है और एक गेंद बाहर ।
- मेज घर्षण रहित है, इसलिए घर्षण में कोई ऊर्जा नहीं खोती और आदर्शीकृत प्रत्यास्थ परिणाम लागू होता है ।
- यह मान लेना कि आता हुआ गोला अपनी मूल ऊँचाई तक लौट जाएगा — वह स्थिर दीवार या कहीं भारी लक्ष्य वाली स्थिति है, किसी सर्वसम मुक्त गोले वाली नहीं ।
- यह भूल जाना कि प्रत्यास्थ टक्करें संवेग के साथ-साथ गतिज ऊर्जा भी संरक्षित रखती हैं ।
यह न्यूटन के झूले वाले परिदृश्य के रूप में पूछा जाता है — याद रखिए कि प्रत्यास्थ टक्कर में समान द्रव्यमान अपने वेग आपस में बदल लेते हैं, इसलिए टकराने वाला रुक जाता है ।
कथन (A): पूर्णतः घर्षणरहित सतह पर खड़ा कोई व्यक्ति सीटी बजाकर स्वयं को आगे बढ़ा सकता है । कारण (R): यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य न करे, तो उसका संवेग नहीं बदल सकता ।
- (a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- (b) A और R दोनों सही हैं, किंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है
- (c) A सही है, किंतु R गलत है
- (d) A गलत है, किंतु R सही है
Answer(a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है — सीटी बजाते समय वायु बाहर फेंकने से व्यक्ति को बराबर और विपरीत संवेग मिल जाता है, क्योंकि किसी विलगित निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है ।
दोनों किसी विलगित, घर्षणरहित निकाय में रैखिक संवेग के संरक्षण पर टिके हैं — UPSC का प्रश्न वही सिद्धांत कहता है कि बाह्य बल के बिना संवेग नहीं बदल सकता, और यही नियम (गतिज ऊर्जा के संरक्षण के साथ) यहाँ समान-द्रव्यमान प्रत्यास्थ टक्कर का परिणाम तय करता है ।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
कोई गतिशील गेंद किसी सर्वसम स्थिर गेंद से सम्मुख और प्रत्यास्थतया टकराती है । टक्कर के बाद पहली गेंद :
- (a)उसी वेग से चलती रहती है
- (b)विराम में आ जाती है
- (c)उसी चाल से वापस उछलती है
- (d)आधे वेग से चलती है
Answer(b) विराम में आ जाती है — प्रत्यास्थ टक्कर में समान द्रव्यमान अपने वेग आपस में बदल लेते हैं, अतः पहली गेंद रुक जाती है और दूसरी चल पड़ती है ।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
कौन-सी राशि प्रत्यास्थ टक्कर में संरक्षित रहती है, किंतु पूर्णतः अप्रत्यास्थ टक्कर में नहीं ?
- (a)रैखिक संवेग
- (b)गतिज ऊर्जा
- (c)कुल ऊर्जा
- (d)द्रव्यमान
Answer(b) गतिज ऊर्जा — संवेग और कुल ऊर्जा दोनों में संरक्षित रहते हैं, किंतु गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ टक्कर में ही संरक्षित रहती है ।