सरल लोलक के संबंध में, निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है ? सरल लोलक में आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता है :
- (a)केवल छोटे आयामों के लिए, क्योंकि तब इसके गोले पर कार्यशील नेट बल इसके विस्थापन पर निर्भर नहीं करता है ।
- (b)किसी भी आयाम के लिए, क्योंकि गोले पर कार्यशील नेट बल हमेशा इसके विस्थापन के समानुपातिक होता है ।
- (c)किसी भी आयाम के लिए, क्योंकि गोले पर कार्यशील नेट बल इसके विस्थापन पर निर्भर नहीं करता है ।
- (d)केवल छोटे आयामों के लिए, क्योंकि तब इसके गोले पर कार्यशील नेट बल इसके विस्थापन के समानुपातिक होता है ।
सही — D, आवर्तकाल आयाम से स्वतंत्र केवल छोटे आयामों के लिए होता है, क्योंकि केवल तभी नेट प्रत्यानयन बल गोले के विस्थापन के समानुपाती रहता है । गोले को माध्य स्थिति की ओर खींचने वाला बल गुरुत्व का स्पर्शरेखीय घटक है, F = -mg sin(theta), जहाँ theta कोणीय विस्थापन है । जब theta छोटा हो, तो sin(theta) लगभग theta होता है, अतः बल विस्थापन के समानुपाती बन जाता है (चाप विस्थापन x = L*theta के लिए F = -(mg/L)x) । विस्थापन के समानुपाती बल ही सरल आवर्त गति की परिभाषक शर्त है, जिसका आवर्तकाल T = 2*pi*sqrt(L/g) केवल लंबाई और गुरुत्व पर निर्भर करता है, इस पर नहीं कि गोला कितनी दूर तक झूलता है । बड़े आयामों पर sin(theta) के स्थान पर theta नहीं रखा जा सकता, बल विस्थापन के समानुपाती नहीं रहता, और आवर्तकाल आयाम के साथ बढ़ जाता है ।
- (a)केवल छोटे आयामों के लिए, क्योंकि तब इसके गोले पर कार्यशील नेट बल इसके विस्थापन पर निर्भर नहीं करता है । — आयाम वाली शर्त तो ठीक है, किंतु कारण उलटा है — छोटे आयामों पर प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती होता है, उससे स्वतंत्र नहीं । जो बल विस्थापन के साथ बदले ही नहीं, वह दोलन उत्पन्न ही नहीं कर सकता ।
- (b)किसी भी आयाम के लिए, क्योंकि गोले पर कार्यशील नेट बल हमेशा इसके विस्थापन के समानुपातिक होता है । — प्रत्यानयन बल -mg sin(theta) केवल लघु कोण की सीमा में विस्थापन के समानुपाती होता है; बड़े झूलों के लिए sin(theta), theta के बराबर नहीं होता, इसलिए बल विस्थापन के समानुपाती नहीं रहता और आवर्तकाल आयाम पर निर्भर करने लगता है ।
- (c)किसी भी आयाम के लिए, क्योंकि गोले पर कार्यशील नेट बल इसके विस्थापन पर निर्भर नहीं करता है । — इसके दोनों भाग असफल होते हैं — प्रत्यानयन बल स्पष्ट रूप से विस्थापन पर निर्भर करता है (यही उसे प्रत्यानयन बल बनाता है), और बड़े झूलों के लिए आवर्तकाल आयाम से स्वतंत्र नहीं रहता ।
सरल लोलक केवल सन्निकट रूप से सरल आवर्त दोलक की तरह व्यवहार करता है । उसकी गति सरल आवर्त — और उसका आवर्तकाल आयाम की परवाह किए बिना नियत — केवल लघु कोण की परास में होता है, जहाँ कोणीय विस्थापन की ज्या के स्थान पर स्वयं कोण रखा जा सकता है ।
लुभावनी भूल गैलीलियो का आदर्शीकृत समकालिकता (isochronism) वाला विश्वास है — कि लोलक का आवर्तकाल हर झूले के लिए एक ही रहता है । यह केवल छोटे दोलनों के लिए ठीक है; यह प्रश्न यह जानने का पुरस्कार देता है कि क्यों (बल विस्थापन के समानुपाती) और कब (छोटे आयाम) ।
- गोले पर प्रत्यानयन बल गुरुत्व का स्पर्शरेखीय घटक है, F = -mg sin(theta), जो माध्य स्थिति की ओर निर्दिष्ट रहता है ।
- छोटे कोणों के लिए sin(theta) लगभग theta (रेडियन में) होता है, अतः बल विस्थापन के समानुपाती बन जाता है — यही सरल आवर्त गति की शर्त है ।
- उस परास में आवर्तकाल T = 2*pi*sqrt(L/g) होता है, जो केवल लोलक की लंबाई और गुरुत्वीय त्वरण से तय होता है, आयाम और गोले के द्रव्यमान से स्वतंत्र ।
- लघु कोण सन्निकटन को प्रथानुसार लगभग 10 से 15 डिग्री तक मान्य माना जाता है; उससे आगे आवर्तकाल आयाम के साथ ध्यान देने योग्य ढंग से बढ़ जाता है ।
आवर्तकाल आयाम से स्वतंत्र केवल तभी रहता है जब प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती बना रहे — अर्थात् लघु कोण की स्थिति में ।
- यह मान लेना कि लोलक का आवर्तकाल हर झूले के लिए आयाम से स्वतंत्र होता है — यह समकालिकता केवल लघु कोण की सीमा में टिकती है ।
- यह सोचना कि आवर्तकाल गोले के द्रव्यमान पर निर्भर करता है — वह निर्भर नहीं करता; वह लंबाई और g पर निर्भर करता है ।
यह 'कौन-सा कथन सही है' के रूप में गढ़ा जाता है, जिसमें आयाम वाली शर्त उसके कारण के साथ जोड़ी जाती है — 'छोटे आयाम' को 'बल विस्थापन के समानुपाती' से मिलाइए ।
निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए : किसी सरल लोलक को दोलन में लाया जाता है । तब I. जब गोला माध्य स्थिति से गुज़रता है तब त्वरण शून्य होता है । II. प्रत्येक चक्र में गोला कोई दिया गया वेग दो बार प्राप्त करता है । III. दोलन के दौरान जब गोला अपनी चरम स्थिति पर पहुँचता है, तब उसका त्वरण और वेग दोनों शून्य होते हैं । IV. सरल लोलक के दोलन का आयाम समय के साथ घटता जाता है । इनमें से कौन-से कथन सही हैं ?
- (a) I और II
- (b) III और IV
- (c) I, II और IV
- (d) II, III और IV
Answer(c) I, II और IV — माध्य स्थिति पर त्वरण शून्य होता है, कोई दी गई चाल प्रत्येक चक्र में दो बार प्राप्त होती है, और वास्तविक लोलक का आयाम समय के साथ क्षीण होता है; केवल कथन III (चरम पर दोनों शून्य) असत्य है ।
दोनों सरल लोलक के दोलन की यांत्रिकी को टटोलते हैं — UPSC का प्रश्न परखता है कि त्वरण और वेग कहाँ लुप्त होते हैं और यह कि वास्तविक लोलक समय के साथ आयाम खोते हैं, अर्थात् वही SHM ढाँचा जिसमें आयाम-स्वतंत्रता वाला यह NDA प्रश्न बैठा है ।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
छोटे दोलनों के लिए, L लंबाई वाले सरल लोलक का आवर्तकाल किसके समानुपाती होता है ?
- (a)L
- (b)sqrt(L)
- (c)L का वर्ग
- (d)1/sqrt(L)
Answer(b) sqrt(L) — चूँकि T = 2*pi*sqrt(L/g), इसलिए आवर्तकाल लंबाई के वर्गमूल के अनुसार बदलता है ।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
किसी सरल लोलक को पृथ्वी से चंद्रमा की सतह पर ले जाया जाता है, जहाँ g पृथ्वी के मान का लगभग छठा भाग है । उसका आवर्तकाल :
- (a)घट जाएगा
- (b)वही रहेगा
- (c)बढ़ जाएगा
- (d)शून्य हो जाएगा
Answer(c) बढ़ जाएगा — T = 2*pi*sqrt(L/g), अतः g छोटा होने पर आवर्तकाल लंबा हो जाता है (लगभग sqrt(6) गुना) ।