0·1 kg द्रव्यमान की एक गेंद को 0·45 m की ऊँचाई से कठोर तल पर गिराया जाता है और यह 0·20 m ऊँचाई तक उछलती है । यदि यह 0·1 s के लिए तल के संपर्क में थी, तो इसके उछलते समय तल पर अधिरोपित नेट बल है : (गुरुत्वीय त्वरण g = 10 m s⁻² लीजिए)
- (a)1·0 N
- (b)6·0 N
- (c)3·0 N
- (d)5·0 N
सही — D, 5·0 N (एक विवादित प्रश्न पर हमारा चयन) । टकराव से ठीक पहले गेंद की चाल sqrt(2 x 10 x 0.45) = 3 m/s नीचे की ओर है; ठीक बाद वह sqrt(2 x 10 x 0.20) = 2 m/s ऊपर की ओर है । संवेग में परिवर्तन Delta_p = 0.1 x (2 - (-3)) = 0.5 kg m/s है, अतः 0.1 s के संपर्क काल में औसत नेट बल Delta_p/t = 0.5/0.1 = 5 N बनता है । 'नेट बल' को संवेग परिवर्तन की यही दर मानने पर 5 N मिलता है (विकल्प d) । ईमानदारी से कहें तो यह प्रश्न बँटा हुआ है: यदि इसके बजाय आप वह वास्तविक संपर्क (अभिलंब) बल चाहते हैं जिससे गेंद तल को दबाती है, तो भार जोड़ना होगा, जिससे 5 + 1 = 6 N (विकल्प b) मिलता है, जिसे कुछ कुंजियाँ चिह्नित करती हैं । हम (d) इसलिए चुनते हैं कि प्रश्न 'नेट बल' कहता है, किंतु 6 N वाला पाठ भी बचाव-योग्य है ।
- (a)1·0 N — यह केवल गेंद का भार है, mg = 0.1 x 10 = 1 N । यह उछलने पर हुए संवेग परिवर्तन की पूरी तरह उपेक्षा करता है, इसलिए यह टकराव में लगा बल हो ही नहीं सकता ।
- (b)6·0 N — यह प्रबल विकल्प है, कोई लापरवाह चूक नहीं: यह पूरा अभिलंब (संपर्क) बल = Delta_p/t + mg = 5 + 1 = 6 N है, अर्थात् वह बल जिससे गेंद न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार वस्तुतः तल को दबाती है । चूँकि प्रश्न की शब्दावली ('तल पर अधिरोपित नेट बल') दोनों तरह पढ़ी जा सकती है, इसलिए यह प्रश्न विवादित है; हम (d) केवल 'नेट' शब्द के कारण चिह्नित करते हैं ।
- (c)3·0 N — यह केवल नीचे की ओर की चाल लेने से आता है (m x v_नीचे / t = 0.1 x 3 / 0.1 = 3 N) और यह भूल जाने से कि उछाल संवेग की दिशा उलट देता है । सही परिवर्तन ऊपर और नीचे — दोनों संवेगों को जोड़ता है, जिससे 5 N मिलता है ।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार किसी टक्कर के दौरान किसी पिंड पर औसत बल उसके संवेग परिवर्तन बटा संपर्क काल के बराबर होता है: F = Delta_p / t । संवेग एक सदिश है, इसलिए उछाल उसका चिह्न उलट देता है और परिवर्तन आने वाले तथा जाने वाले परिमाणों का योग बन जाता है । उछाल से पहले और बाद की ऊँचाइयाँ चालों को v = sqrt(2gh) से तय कर देती हैं ।
पूरी कठिनाई 'तल पर अधिरोपित नेट बल' वाक्यांश में है । संपर्क के दौरान गेंद पर दो बल लगते हैं — तल का ऊपर की ओर धक्का (अभिलंब बल N) और नीचे की ओर उसका अपना भार (mg) । गेंद पर नेट बल Delta_p/t = 5 N है, और यही नेट बल उसे त्वरित करता है । वास्तविक संपर्क बल N = Delta_p/t + mg = 6 N है, और न्यूटन के तृतीय नियम से गेंद उतने ही 6 N से तल को दबाती है । अतः 'नेट बल' 5 N की ओर संकेत करता है जबकि 'तल पर बल' 6 N की ओर — इसीलिए परीक्षक और कोचिंग कुंजियाँ असहमत हैं ।
- टकराव से ठीक पहले की चाल: v = sqrt(2 x 10 x 0.45) = 3 m/s (नीचे की ओर) ।
- टकराव के ठीक बाद की चाल: v = sqrt(2 x 10 x 0.20) = 2 m/s (ऊपर की ओर) ।
- संवेग में परिवर्तन: Delta_p = 0.1 x (2 - (-3)) = 0.5 kg m/s; नेट बल = Delta_p/t = 5 N ।
- पूरा संपर्क/अभिलंब बल = नेट बल + भार = 5 + 1 = 6 N (प्रतिस्पर्धी उत्तर) ।
- यह भूल जाना कि उछाल पर संवेग की दिशा उलट जाती है, इसलिए परिवर्तन ऊपर और नीचे की चालों को जोड़ता है (5, न कि 1 या 3) ।
- नेट बल (Delta_p/t) को वास्तविक संपर्क बल (Delta_p/t + mg) से गड्डमड्ड कर देना — यही 5 N बनाम 6 N विवाद का स्रोत है ।
यह उछलती गेंद या बल्ला-और-गेंद की टक्कर के रूप में पूछा जाता है: गिरने और उछलने की ऊँचाइयों से आवेग, औसत बल या संपर्क बल निकालिए ।
कथन (A): पूर्णतः घर्षणरहित सतह पर खड़ा कोई व्यक्ति सीटी बजाकर स्वयं को आगे बढ़ा सकता है । कारण (R): यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य न करे, तो उसका संवेग नहीं बदल सकता ।
- (a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है
- (b) A और R दोनों सही हैं, किंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है
- (c) A सही है, किंतु R गलत है
- (d) A गलत है, किंतु R सही है
Answer(a) A और R दोनों सही हैं, और R, A की सही व्याख्या है
वही अवधारणा — संवेग में परिवर्तन और बल । UPSC का कारण वही संवेग सिद्धांत बताता है (बल का संबंध संवेग परिवर्तन से है), जो इस NDA उछलती-गेंद समस्या की आवेग गणना के मूल में है ।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
h ऊँचाई से गिराई गई गेंद उससे कम ऊँचाई तक उछलती है । टकराव से ठीक पहले की चाल किससे निकाली जाती है ?
- (a)v = gh
- (b)v = sqrt(2gh)
- (c)v = 2gh
- (d)v = sqrt(gh)
Answer(b) v = sqrt(2gh) — मुक्त पतन की गतिकी गिरने की ऊँचाई को टकराव की चाल से जोड़ती है ।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
किसी टक्कर के दौरान औसत बल किसके बराबर होता है ?
- (a)संवेग परिवर्तन x संपर्क काल
- (b)संवेग परिवर्तन / संपर्क काल
- (c)द्रव्यमान x ऊँचाई
- (d)भार x संपर्क काल
Answer(b) संवेग परिवर्तन / संपर्क काल — यही आवेग-संवेग प्रमेय है, F = Delta_p / t ।