110 ओहम रोध असलेल्या उपकरणाच्या दोन टोकांमध्ये 33 V विभवांतर प्रयुक्त केले असता उपकरणातून काही विद्युतधारा वाहते. 500 ओहम रोध असणाऱ्या उपकरणातून तेवढीच विद्युत धारा वाहू देण्यासाठी त्याच्या दोन टोकांमध्ये किती विभवांतर प्रयुक्त करावे लागेल ?
- (1)726 V
- (2)455 V
- (3)1500 V
- (4)150 V
बरोबर उत्तर पर्याय (4) — 150 V. हा प्रश्न ओहमच्या नियमाचा दोन टप्प्यांतील उपयोग आहे, त्याहून अधिक काही नाही. ओहमचा नियम असे सांगतो की ज्या वाहकाची भौतिक स्थिती — विशेषतः त्याचे तापमान — बदललेली नाही, त्याच्यातून वाहणारी विद्युतधारा त्याच्या दोन टोकांमधल्या विभवांतराच्या समप्रमाणात असते; म्हणजे विभवांतर बरोबर विद्युतधारा गुणिले रोध. पहिला टप्पा म्हणजे पहिल्या स्थितीतली विद्युतधारा काढणे. 110 ओहम रोधावर 33 व्होल्ट विभवांतर लावले तर विद्युतधारा 33 भागिले 110, म्हणजे नेमकी 0.3 अँपिअर. दुसरा टप्पा म्हणजे तीच विद्युतधारा दुसऱ्या उपकरणातून वाहवणे. प्रश्नाची अट अशी की तीच विद्युतधारा 500 ओहम रोधातून वाहावी; म्हणून लागणारे विभवांतर 0.3 गुणिले 500, म्हणजे 150 व्होल्ट — म्हणजेच पर्याय (4). विद्युतधारा मुळीच न काढता उत्तर काढणारा एक छोटा मार्गही आहे आणि तो शिकून ठेवण्यासारखा आहे, कारण तो चुका ज्या पायरीवर होतात तीच पायरी काढून टाकतो. जर दोन्ही वेळी विद्युतधारा तीच असेल, तर दोन्ही वेळी विभवांतर भागिले रोध हे गुणोत्तर तेच राहते; म्हणजे विभवांतर रोधाच्या समप्रमाणात असते. इथे रोध 500 भागिले 110, म्हणजे पन्नास अकरांश पटीने वाढला आहे, म्हणून विभवांतरही तितक्याच पटीने वाढले पाहिजे — म्हणजे 33 गुणिले पन्नास अकरांश. 33 मधून 11 तीनदा जातो, उरते 3 गुणिले 50, म्हणजे 150. अशा पद्धतीने सोडवले की प्रत्येक आकडा पूर्णांक राहतो आणि काही सेकंदांत उत्तर मिळते. कोणताही मार्ग वापरला तरी उत्तर उलट तपासता येते, आणि उलट तपासणी हाच उरलेले तीन पर्याय का पडतात हे पाहण्याचा सर्वात जलद मार्ग आहे. प्रत्येक दिलेले विभवांतर 500 ओहमने भागा आणि ते किती विद्युतधारा वाहवेल ते विचारा : 726 व्होल्ट 1.452 अँपिअर वाहवेल, 455 व्होल्ट 0.91 अँपिअर, 1500 व्होल्ट 3 अँपिअर, आणि 150 व्होल्ट 0.3 अँपिअर. यांतली फक्त शेवटची 33 व्होल्ट 110 ओहमातून वाहवणाऱ्या विद्युतधारेशी जुळते, आणि प्रश्नाची मागणी तीच आहे. शेवटी एक नोंद : दुसरा रोध पहिल्यापेक्षा कितीतरी मोठा असूनही उत्तर हे चारांतले सर्वात मोठे आकडे नाही. विद्युतधारा स्थिर धरली आहे, आणि विभवांतर एकट्या रोधाने नव्हे तर विद्युतधारेसह रोधाने ठरते. मराठी स्तंभात एककाचे नाव 'ओहम' असे शब्दांत छापले आहे तर इंग्रजी स्तंभात ओहमचे चिन्ह वापरले आहे; गणितावर त्याचा काहीही परिणाम होत नाही. उत्तर पर्याय (4).
- (1)726 V — दिलेल्या माहितीवरून ओहमचा नियम कसाही बरोबर लावला तरी 726 व्होल्ट हे उत्तर निघत नाही. ते पाहण्याचा सर्वात जलद मार्ग उलट तपासणीचा : 500 ओहमवर 726 व्होल्ट लावले तर 1.452 अँपिअर विद्युतधारा वाहील, जी 33 व्होल्ट 110 ओहमातून वाहवणाऱ्या 0.3 अँपिअरच्या जवळपास पाचपट आहे; आणि प्रश्न दोन्ही वेळी विद्युतधारा तीच असावी अशी अट घालतो. हा पर्याय चारांतला दुसऱ्या क्रमांकाचा मोठा आकडा असून तो अशा उमेदवारांसाठी बांधलेल्या कुटुंबातला आहे जे आकड्यांनी नव्हे तर गुणात्मक तर्काने विचार करतात — 'दुसरा रोध पहिल्यापेक्षा खूप मोठा आहे, म्हणून विभवांतरही खूप मोठे असले पाहिजे, म्हणून उत्तर मोठ्या आकड्यांपैकीच असेल.' त्या तर्काची दिशा बरोबर आहे पण आकारमान चुकीचे. बरोबर पट दोन रोधांच्या गुणोत्तराने, म्हणजे 500 आणि 110 यांच्या गुणोत्तरानेच, नेमकी ठरते आणि या प्रश्नात दुसरी कोणतीही पट शक्यच नाही.
- (2)455 V — दिलेल्या आकड्यांतून 455 व्होल्टही निघत नाही. उलट तपासले तर 500 ओहमवर 455 व्होल्ट 0.91 अँपिअर वाहवेल, म्हणजे आवश्यक विद्युतधारेच्या सुमारे तिप्पट; म्हणून प्रश्नाने घातलेली अट तो पूर्ण करत नाही. हा पर्याय संचात एक खरा वाटणारा मधला आकडा म्हणून ठेवला आहे : उत्तर 33 व्होल्टपेक्षा बरेच मोठे असले पाहिजे हे माहीत असणाऱ्या उमेदवाराचे समाधान होईल इतका तो मोठा आहे, आणि सापळ्यासारखा दिसणार नाही इतका सामान्यही. आणि नेमक्या याच कारणाने अशा प्रश्नात अंदाजाने काढलेले उत्तर धोकादायक असते. इथले गणित छोटे व नेमके आहे — रोधांचे गुणोत्तर 500 भागिले 110 आहे आणि विभवांतरांचे गुणोत्तर तेवढेच असले पाहिजे — म्हणून अंदाज बांधण्याचे कारणच नाही; आणि चार आकडी पर्यायांमध्ये अंदाज बांधणे म्हणजे सुटणाऱ्या प्रश्नाचे रूपांतर तर्कशून्य निवडीत करणे.
- (3)1500 V — तिन्ही चुकीच्या पर्यायांपैकी 1500 व्होल्ट सर्वात शिकवणारा आहे, कारण तो एका विशिष्ट व अतिशय सामान्य चुकीतून येतो. उमेदवार 33 भागिले 110 करतो, 0.3 मिळवतो, ते चुकून 3 असे वाचतो किंवा लिहितो, आणि मग 3 गुणिले 500 करून 1500 काढतो. ही चूक विद्युतधारेतील दशांश चिन्हाच्या जागेची आहे, आणि ती सहज घडते कारण 33 भागिले 110 ही अशी भागाकाराची उदाहरणे आहेत जिथे उत्तर एकापेक्षा लहान येते आणि डोळ्यांची अपेक्षा उलट असते. दोन सवयी ही चूक टाळतात. पहिली : विद्युतधारा वापरण्याआधी तिची तर्कसंगती तपासणे — ओहममधला रोध व्होल्टमधल्या विभवांतरापेक्षा मोठा असल्याने 33 व्होल्ट 110 ओहमातून एक अँपिअरपेक्षा कमीच विद्युतधारा वाहवेल. दुसरी : समप्रमाणाचा छोटा मार्ग वापरणे, जो विद्युतधारा काढतच नाही आणि म्हणून तिच्या दशांश चिन्हाची जागाही चुकवू शकत नाही.
ओहमचा नियम साध्या विद्युत परिपथातील तीन मूलभूत राशींमधला संबंध सांगतो. वाहकाच्या दोन टोकांमधले विभवांतर, जे व्होल्टमध्ये मोजतात, म्हणजे त्यातून विद्युतभार वाहवताना प्रति एकक भारावर केलेले कार्य; विद्युतधारा, जी अँपिअरमध्ये मोजतात, म्हणजे भार वाहण्याचा दर; आणि रोध, जो ओहममध्ये मोजतात, म्हणजे पहिल्याचे दुसऱ्याशी असलेले गुणोत्तर. नियम असे सांगतो की ठरावीक वाहकाची भौतिक स्थिती बदलली नसेल तर विद्युतधारा विभवांतराच्या समप्रमाणात असते; म्हणजेच त्या दोहोंचे गुणोत्तर त्या वाहकासाठी स्थिरांक असते आणि त्यालाच त्याचा रोध म्हणतात. परीक्षेच्या दृष्टीने दोन अटी महत्त्वाच्या आहेत. पहिली : हा नियम काही विशिष्ट वर्गातल्या पदार्थांनी — ज्यांना ओहमी वाहक म्हणतात, मुख्यतः धातू — पाळलेला प्रायोगिक संबंध आहे, विश्वव्यापी सत्य नाही. अर्धवाहक डायोड, विद्युतधारेबरोबर ज्याचे तापमान वाढते असा तंतू असलेला दिवा, किंवा विद्युतअपघटनी द्रव यांचा विद्युतधारा-विरुद्ध-विभवांतर आलेख सरळ रेषा देत नाही. दुसरी : रोध हा केवळ पदार्थाचा नव्हे तर वस्तूचा गुणधर्म आहे — तो पदार्थावर त्याच्या रोधकतेमार्फत अवलंबून असतो आणि वस्तूच्या आकारावर लांबी व काटछेद क्षेत्रफळामार्फत; तो लांबीच्या समप्रमाणात व काटछेद क्षेत्रफळाच्या व्यस्त प्रमाणात असतो, आणि तापमानाबरोबर बदलतो. या नियमावर बांधलेले प्रश्न तीन आकारांत येतात आणि हा प्रश्न तिसऱ्या आकाराचा आहे. सर्वात सोपे प्रश्न दोन राशी देऊन तिसरी विचारतात. पुढचे प्रश्न परिपथाचे जाळे देतात आणि रोध एकत्र करण्याचे नियम मागतात — श्रेणी जोडणीत रोधांची बेरीज होते, समांतर जोडणीत त्यांच्या व्यस्तांची. तिसरा आकार, जो इथे वापरला आहे, दोन स्थितींमध्ये एक राशी स्थिर ठेवतो आणि उरलेल्या कशा बदलल्या पाहिजेत असे विचारतो; अशा प्रश्नांसाठी कार्यक्षम पद्धत प्रत्येक राशी काढत बसणे ही नसून 'काय स्थिर ठेवले आहे' ते ओळखून समप्रमाणाने तर्क करणे ही आहे — त्यामुळे गणित लहान राहते आणि दशांशाच्या चुका ज्या पायऱ्यांवर होतात त्या पायऱ्याच नाहीशा होतात.
एमपीएससीच्या पेपरातील विज्ञान विभागात स्मरणाचे प्रश्न आणि छोटी गणिते यांचे मिश्रण असते, आणि गणिती प्रश्नांचे मोल त्यांच्या संख्येपेक्षा अधिक असते, कारण त्यांचे उत्तर मताने नव्हे तर निश्चितपणे देता येते. आणि त्याच कारणाने निष्काळजी चूक सर्वात महाग तिथेच पडते, कारण चुकीचे गणित करणाऱ्या उमेदवाराला त्याचे चुकीचे उत्तर पर्यायांमध्येच वाट पाहत बसलेले सापडते — परीक्षक चुकीचे पर्याय नेमके ठरावीक चुकांतूनच बनवतात. हा प्रश्न त्याचे स्वच्छ उदाहरण आहे, कारण त्यातला एक पर्याय विद्युतधारेतील दशांश चिन्हाच्या चुकीच्या जागेशी नेमका जुळतो. यावरचा बचाव गणिती नसून पद्धतशीर आहे : काय स्थिर ठेवले आहे ते आधी लिहा, शक्य असेल तिथे समप्रमाणाने सोडवा, आणि खूण करण्याआधी उत्तर प्रश्नातल्या अटीशी उलट तपासा. इथे ही उलट तपासणी सुमारे पाच सेकंद घेते आणि निर्णायक ठरते, कारण चारांपैकी फक्त एकच विभवांतर 500 ओहमातून आवश्यक विद्युतधारा वाहवते. प्रश्नवाक्य नीट वाचून 'काय स्थिर धरले आहे' ते शोधणेही तितकेच महत्त्वाचे आहे, कारण संपूर्ण प्रश्न 'तेवढीच विद्युत धारा' या शब्दांवर फिरतो; जो हा प्रश्न दोन स्वतंत्र परिपथ म्हणून वाचतो त्याच्याकडे त्या दोघांना जोडण्याचा कोणताही मार्गच उरत नाही.
- ओहमचा नियम : वाहकाची भौतिक स्थिती बदललेली नसेल तर त्यातून वाहणारी विद्युतधारा त्याच्या दोन टोकांमधल्या विभवांतराच्या समप्रमाणात असते; म्हणजे विभवांतर बरोबर विद्युतधारा गुणिले रोध.
- या प्रश्नात पहिल्या परिपथातली विद्युतधारा 33 व्होल्ट भागिले 110 ओहम, म्हणजे 0.3 अँपिअर; आणि तीच विद्युतधारा 500 ओहमातून वाहवण्यासाठी लागणारे विभवांतर 0.3 गुणिले 500, म्हणजे 150 व्होल्ट.
- विद्युतधारा स्थिर धरली असल्याने विभवांतर रोधाच्या समप्रमाणात असते; म्हणून विद्युतधारा मुळीच न काढता 33 गुणिले 500 भागिले 110 असेही उत्तर मिळते.
- उलट तपासणी : दिलेली चार विभवांतरे 500 ओहमातून अनुक्रमे 1.452, 0.91, 3 आणि 0.3 अँपिअर विद्युतधारा वाहवतील, आणि यांतली फक्त शेवटची पहिल्या परिपथातील विद्युतधारेशी जुळते.
- ओहमचा नियम स्थिर तापमानावरील धातूंसारख्या ओहमी वाहकांना लागू होतो; डायोड, तापलेला तंतू किंवा विद्युतअपघटनी द्रव त्याचे पालन करत नाहीत. रोध स्वतः पदार्थाच्या रोधकतेवर, वस्तूच्या लांबी व काटछेद क्षेत्रफळावर आणि तापमानावर अवलंबून असतो.
सगळे 'तेवढीच विद्युतधारा' या शब्दांवर फिरते; दोन स्वतंत्र मंडले म्हणून वाचले तर या प्रश्नात त्या दोघांना जोडणारे काहीच उरत नाही. परीक्षक चुकीच्या उत्तर-ओळी नेहमीच्या घसरणींतूनच बांधतात, म्हणून चुकीचे गणित केले तरी त्याचे उत्तर पर्यायांत तयार बसलेले सापडते — आणि म्हणूनच बीजगणितापेक्षा कार्यपद्धती महत्त्वाची : काय स्थिर आहे ते आधी सांगा, प्रमाणाने सोडवा, आणि खूण करण्याआधी उलट तपासा. ओहमचा नियम स्वतः अनुभवसिद्ध संबंध असून तो ओहमी वाहक पाळतात, मुख्यतः स्थिर तापमानावरचे धातू; डायोड, विद्युतधारेबरोबर तापणारा तंतुदिवा किंवा विद्युतअपघटनी द्रावण सरळ रेषा देत नाहीत. मराठी स्तंभात एककाचे नाव 'ओहम' असे शब्दांत छापले आहे तर इंग्रजी स्तंभात त्याचे चिन्ह वापरले आहे; गणितावर त्याचा काहीही परिणाम होत नाही.
- 33 भागिले 110 चे उत्तर 0.3 ऐवजी 3 असे वाचणे; दशांश चिन्हाची ही एकच चूक उत्तर दहापटीने चुकवते आणि तिचा नेमका आकडा पर्यायांत ठेवलेला असतो
- 'रोध खूप वाढला म्हणून विभवांतरही खूप वाढेल' असा गुणात्मक अंदाज बांधून मोठ्या आकड्यांपैकी एक निवडणे; वाढीची पट रोधांच्या गुणोत्तरानेच ठरते
- प्रश्नातील 'तेवढीच विद्युत धारा' ही अट न वाचता दोन स्वतंत्र परिपथ म्हणून सोडवणे; त्या अटीशिवाय दोन्ही परिस्थिती जोडता येतच नाहीत
- उत्तर खूण करण्याआधी उलट तपासणी न करणे; दिलेले विभवांतर 500 ओहमने भागून येणारी विद्युतधारा पहिल्या परिपथाशी जुळते का, हे पाच सेकंदांत तपासता येते
विद्युतशास्त्रावरचे गणिती प्रश्न एमपीएससीच्या विज्ञान विभागात नियमितपणे येतात आणि ते जवळपास नेहमीच ओहमचा नियम, रोधांची जोडणी किंवा विद्युत शक्ती या तिघांपैकी एकावर बांधलेले असतात. आकडे मुद्दाम असे निवडलेले असतात की गणित तोंडी करता यावे — इथे 33, 110 व 500 यांचे गुणोत्तर सुबक येते — पण त्याच वेळी एखादी ठरावीक चूक स्वच्छ चुकीचा आकडा देईल अशीही ती निवड असते, आणि तो आकडा पर्यायांत ठेवला जातो. म्हणून तयारीचा भर सूत्रे पाठ करण्यावर नसून सोडवण्याच्या शिस्तीवर असावा : काय दिले आहे, काय स्थिर आहे, काय विचारले आहे, आणि उत्तर अटीशी जुळते का. दुसरा नेहमीचा प्रकार म्हणजे व्याख्येचा किंवा नियमाच्या मर्यादेचा प्रश्न — ओहमचा नियम कोणत्या वाहकांना लागू होतो, रोध कशावर अवलंबून असतो — आणि त्यासाठी नियमाच्या अटी शब्दांत लक्षात ठेवाव्या लागतात, फक्त सूत्र नव्हे.
या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
220 ओहम रोध असलेल्या उपकरणाच्या दोन टोकांमध्ये 44 V विभवांतर लावले आहे. तीच विद्युतधारा 1000 ओहम रोधातून वाहवण्यासाठी किती विभवांतर लागेल ?
- (a)100 V
- (b)200 V
- (c)220 V
- (d)1000 V
उत्तर(2) 200 V. पहिल्या परिपथातली विद्युतधारा 44 भागिले 220, म्हणजे 0.2 अँपिअर; तीच विद्युतधारा 1000 ओहमातून वाहवण्यासाठी 0.2 गुणिले 1000, म्हणजे 200 व्होल्ट लागतील. विद्युतधारा न काढताही हे मिळते : विद्युतधारा स्थिर असल्याने विभवांतर रोधाच्या समप्रमाणात असते, रोध 1000 भागिले 220 पटीने वाढला आहे, म्हणून विभवांतरही तितक्याच पटीने — 44 गुणिले 1000 भागिले 220, म्हणजे 200. समप्रमाणाचा मार्ग दशांशाची चूक होऊच देत नाही.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
ओहमच्या नियमाविषयी खालीलपैकी कोणते विधान बरोबर आहे ?
- (a)तो सर्व पदार्थांना सर्व परिस्थितींत लागू होणारा विश्वव्यापी नियम आहे
- (b)तो भौतिक स्थिती, विशेषतः तापमान, बदललेली नसताना ओहमी वाहकांना लागू होणारा प्रायोगिक संबंध आहे
- (c)त्यानुसार विद्युतधारा विभवांतराच्या व्यस्त प्रमाणात असते
- (d)त्यानुसार रोध हा फक्त पदार्थावर अवलंबून असतो, वस्तूच्या आकारावर नाही
उत्तर(2) तो भौतिक स्थिती, विशेषतः तापमान, बदललेली नसताना ओहमी वाहकांना लागू होणारा प्रायोगिक संबंध आहे. अर्धवाहक डायोड, तापणारा तंतू किंवा विद्युतअपघटनी द्रव या नियमाचे पालन करत नाहीत, म्हणून पहिला पर्याय चुकीचा. तिसरा पर्याय संबंध उलटा मांडतो — विद्युतधारा विभवांतराच्या समप्रमाणात असते. आणि चौथा चुकीचा आहे कारण रोध पदार्थाच्या रोधकतेबरोबरच वस्तूच्या लांबी व काटछेद क्षेत्रफळावरही अवलंबून असतो : लांबीच्या समप्रमाणात आणि क्षेत्रफळाच्या व्यस्त प्रमाणात.