MPSC 2023 पूर्व परीक्षा पेपर-१ · प्रश्न 37 / 100

बरोबर उत्तर पर्याय (2) — 9. दोन समतल आरसे एकमेकांशी कोन करून ठेवले की प्रकाश त्यांच्यामध्ये पुन्हापुन्हा परावर्तित होतो, आणि प्रत्येक प्रतिमा पुढच्या परावर्तनासाठी वस्तूचे काम करते; त्यामुळे प्रतिमांचा एक अख्खा संच तयार होतो. या संचाची भूमिती सोपी आहे आणि उत्तरापर्यंतचा सर्वात जलद मार्गही तीच आहे. सर्व प्रतिमा आणि मूळ वस्तू या सगळ्या एका वर्तुळावर असतात; त्या वर्तुळाचा केंद्र म्हणजे दोन आरसे जिथे मिळतात ती रेषा, आणि त्रिज्या म्हणजे वस्तूचे त्या रेषेपासूनचे अंतर. या वर्तुळावर त्या सर्व समान अंतरावर मांडलेल्या असतात आणि लागोपाठच्या दोन स्थानांमधले अंतर म्हणजे आरशांमधला कोन. पूर्ण फेरा 360 अंशांचा असतो, म्हणून वर्तुळावरील स्थानांची संख्या 360 भागिले कोन एवढी येते. इथे कोन 36 अंश आहे आणि 360 भागिले 36 म्हणजे 10 — म्हणजे एकूण दहा समान अंतरावरची स्थाने. त्यांपैकी एक स्थान मूळ वस्तूने व्यापलेले असते आणि उरलेले प्रत्येक स्थान म्हणजे एक प्रतिमा; म्हणून प्रतिमांची संख्या नऊ. हेच उत्तर पर्याय (2). हाच निष्कर्ष सूत्राच्या रूपातही सांगितला जातो, आणि ते सूत्र पूर्ण अटींसह शिकणे महत्त्वाचे आहे. 360 भागिले कोन याला n म्हणा. n जर सम पूर्णांक आला, तर प्रतिमांची संख्या n उणे एक असते, आणि वस्तू आरशांमध्ये नेमकी कोठे ठेवली आहे याने काहीच फरक पडत नाही. n जर विषम पूर्णांक आला, तर उत्तर वस्तूच्या स्थानावर अवलंबून राहते : कोनाच्या दुभाजकावर, म्हणजे समरूप ठेवलेली वस्तू n उणे एक प्रतिमा देते, तर दुभाजकाबाहेर ठेवलेली वस्तू n प्रतिमा देते. या प्रश्नात n म्हणजे 10, म्हणजे सम संख्या; त्यामुळे सूत्राने नऊ प्रतिमा मिळतात आणि प्रश्नातील 'समरूप ठेवली' हा शब्दप्रयोग उत्तरात काहीच बदल करत नाही. तो तिथे आहे कारण कोन 72 अंश असता — जिथे n म्हणजे 5, विषम — तर तोच शब्द निर्णायक ठरला असता. वर्तुळाच्या मांडणीने मोजा किंवा सूत्राने, उत्तर नऊच येते.

• (1)8 — आठ हे उत्तर सहसा वजाबाकी दोनदा केल्याने येते : उमेदवार 360 भागिले 36 करून 10 मिळवतो, त्यातून वस्तूचे स्थान वजा करून 9 मिळवतो, आणि मग सूत्रातील 'उणे एक' पुन्हा एकदा लावून 8 वर पोहोचतो. वर्तुळाची मांडणी डोळ्यांसमोर ठेवली की ही चूक टळते, कारण तिथे वजाबाकी नेमकी एकदाच आणि स्पष्ट कारणासाठी होते — दहा स्थानांपैकी एक स्थान मूळ वस्तूचे असते, म्हणून प्रतिमा नऊ. दुसरे संभाव्य कारण म्हणजे 'दोन आरशांच्या पृष्ठभागांवरील प्रतिमा वेगळ्या मोजू नयेत' अशी काहीतरी अतिरिक्त अट कल्पून एक प्रतिमा वजा करणे; असा कोणताही नियम नाही. सूत्र पाठ करण्यापेक्षा त्यामागची भूमिती लक्षात ठेवली की अशा एकाच अंकाच्या चुका आपोआप बंद होतात.
• (3)10 — दहा हा आकडा 360 भागिले 36 या भागाकाराचे थेट उत्तर आहे, आणि तिथेच थांबणारा उमेदवार हा पर्याय निवडतो. पण तो भागाकार प्रतिमांची संख्या देत नाही; तो वर्तुळावरील एकूण स्थानांची संख्या देतो, आणि त्या दहा स्थानांपैकी एक स्थान मूळ वस्तूचेच असते. म्हणून प्रतिमा नऊ. एक तपशील नोंदवण्याजोगा : n विषम असेल आणि वस्तू दुभाजकाबाहेर ठेवली असेल, तर मात्र प्रतिमांची संख्या खरोखर n एवढी होते — म्हणजे या पर्यायाचा आकार अशा वेगळ्या परिस्थितीत बरोबर ठरतो, आणि तेच त्याला आकर्षक बनवते. इथली परिस्थिती तशी नाही : 10 ही सम संख्या असल्याने वस्तूच्या स्थानाचा प्रश्नच येत नाही आणि उत्तर n उणे एक हेच राहते.
• (4)11 — अकरा हा आकडा भागाकारात एक मिळवून, म्हणजे उणे एक ऐवजी अधिक एक करून, येतो — बहुधा 'प्रत्येक आरसा स्वतःची एक प्रतिमा जास्त देतो' अशा अस्पष्ट कल्पनेतून. भूमिती तसे काहीच सांगत नाही : वर्तुळावर 360 भागिले कोन एवढीच स्थाने बसतात आणि त्यापेक्षा जास्त प्रतिमा तयार होऊ शकत नाहीत, कारण पुढची परावर्तने आधीच्याच स्थानांवर येऊन पडतात. मोजण्याची दिशा उलटी करण्याची ही चूक सूत्रापेक्षा भूमितीने लवकर पकडता येते. लक्षात ठेवण्याजोगे टोकाचे उदाहरण म्हणजे दोन समांतर आरसे : तिथे कोन शून्य होतो, भागाकार अनंत होतो आणि प्रतिमांची मालिका सैद्धांतिकदृष्ट्या अमर्याद होते — कोन जितका लहान तितक्या प्रतिमा जास्त, हा नियम यातून पक्का होतो.

समतल आरशातील प्रतिमा नेहमी आभासी, सुलटी, वस्तूएवढ्याच आकाराची, पार्श्विक उलटी, आणि वस्तू आरशापुढे जितक्या अंतरावर असते तितक्याच अंतरावर आरशामागे असते. दोन समतल आरसे कोन करून ठेवले की एका आरशाने तयार केलेली प्रतिमा दुसऱ्या आरशासाठी वस्तू बनते, आणि परावर्तनांची साखळी सुरू होते. या साखळीत तयार होणाऱ्या सर्व प्रतिमा व मूळ वस्तू आरशांच्या छेदरेषेभोवतीच्या एका वर्तुळावर, आरशांमधल्या कोनाइतक्या समान अंतरावर बसतात. म्हणून एकूण स्थाने 360 भागिले कोन एवढी येतात, त्यांतले एक वस्तूचे, आणि उरलेली प्रतिमांची. यावरून सूत्र निघते : 360 भागिले कोन याला n म्हटले तर n सम असल्यास प्रतिमा n उणे एक, आणि हे वस्तूच्या स्थानावर अवलंबून नसते; n विषम असल्यास वस्तू दुभाजकावर असेल तर n उणे एक आणि दुभाजकाबाहेर असेल तर n. उपयोगी उदाहरणे लक्षात ठेवावी : 90 अंशांना तीन प्रतिमा, 60 अंशांना पाच, 45 अंशांना सात, 36 अंशांना नऊ; आणि दोन समांतर आरशांमध्ये कोन शून्य असल्याने प्रतिमांची मालिका सैद्धांतिकदृष्ट्या अमर्याद होते, जरी प्रत्यक्षात प्रत्येक परावर्तनात प्रकाश कमी होत जात असल्याने दूरच्या प्रतिमा दिसेनाशा होतात. याच तत्त्वावर कॅलिडोस्कोप चालतो : आत तीन आरसे साठ अंशांचा त्रिकोण करून ठेवलेले असतात आणि तयार होणाऱ्या अनेक प्रतिमा सममित नक्षी घडवतात.

एमपीएससीच्या सामान्य विज्ञान विभागात प्रकाशाचे परावर्तन हा नियमित विषय आहे आणि त्यातले प्रश्न बहुतांश वेळा संकल्पनात्मक असतात; पण दोन आरशांमधल्या प्रतिमांचा प्रश्न हा त्यातला अपवाद असून तो थेट आकडेमोडीचा असतो. त्याचे बरे-वाईट दोन्ही परिणाम आहेत. बरे हे की उत्तर पूर्णपणे निश्चित असते आणि माहीत असल्यास दहा सेकंदांत मिळते; वाईट हे की सूत्र अर्धवट पाठ केलेले असेल तर चूक होण्याचे तीन वेगवेगळे मार्ग तयार होतात — भागाकारापाशी थांबणे, उणे एक दोनदा करणे, किंवा उणे एक ऐवजी अधिक एक करणे. या तिन्ही चुका पर्यायांत आठ, दहा व अकरा या रूपात आधीच ठेवलेल्या आहेत, म्हणजे आयोगाला त्या अपेक्षित आहेत. यावर उपाय म्हणजे सूत्राऐवजी वर्तुळाचे चित्र लक्षात ठेवणे — दहा समान अंतरावरची स्थाने, एक वस्तूचे, नऊ प्रतिमांची — कारण चित्रातून सूत्र काढता येते पण सूत्रातून चित्र काढता येत नाही. दुसरी नोंद प्रश्नाच्या शब्दरचनेविषयी : 'समरूप ठेवली' या शब्दांचा इथे उत्तरावर परिणाम होत नाही, कारण n सम आहे. पण तेच शब्द n विषम असणाऱ्या प्रश्नात निर्णायक ठरतात, म्हणून त्यांच्याकडे दुर्लक्ष करण्याची सवय लावून घेऊ नये. तिसरी नोंद छपाईविषयी : मराठी प्रश्नात '36° अंशात' असे अंशचिन्ह व 'अंश' हा शब्द दोन्ही छापले आहेत; ती छपाईची पुनरुक्ती आहे, अर्थात बदल नाही.

• कोन करून ठेवलेले दोन समतल आरसे वारंवार परावर्तनातून अनेक प्रतिमा तयार करतात; मूळ वस्तू व तिच्या सर्व प्रतिमा आरशांच्या छेदरेषेभोवतीच्या एका वर्तुळावर, आरशांमधल्या कोनाइतक्या समान अंतरावर असतात.
• 360 भागिले कोन याला n म्हटले तर n सम पूर्णांक असल्यास प्रतिमांची संख्या n उणे एक असते, आणि वस्तू आरशांमध्ये कोठेही ठेवली तरी हेच उत्तर राहते.
• n विषम पूर्णांक असेल तेव्हा वस्तूचे स्थान महत्त्वाचे ठरते : कोनाच्या दुभाजकावर म्हणजे समरूप ठेवलेली वस्तू n उणे एक प्रतिमा देते, तर दुभाजकाबाहेर ठेवलेली वस्तू n प्रतिमा देते.
• 36 अंशांच्या आरशांसाठी n म्हणजे 10 आणि नऊ प्रतिमा तयार होतात; 90 अंशांना तीन, 60 अंशांना पाच आणि 45 अंशांना सात प्रतिमा मिळतात, तर दोन समांतर आरशांमध्ये प्रतिमांची मालिका अमर्याद होते.
• समतल आरशातील प्रतिमा नेहमी आभासी, सुलटी, वस्तूएवढ्याच आकाराची व पार्श्विक उलटी असते आणि वस्तू आरशापुढे जितक्या अंतरावर असते तितक्याच अंतरावर ती आरशामागे तयार होते.

• 360 भागिले कोन एवढाच आकडा उत्तर म्हणून देणे; तो वर्तुळावरील एकूण स्थानांची संख्या असतो आणि त्यातले एक स्थान मूळ वस्तूचे असते
• सूत्रातील 'उणे एक' दोनदा लावून एक प्रतिमा कमी मोजणे
• उणे एक ऐवजी अधिक एक करून प्रतिमांची संख्या वाढवणे; भूमितीने वर्तुळावर त्यापेक्षा जास्त स्थानेच बसत नाहीत
• n विषम असतानाही वस्तूच्या स्थानाकडे दुर्लक्ष करणे; तिथे दुभाजकावरची व दुभाजकाबाहेरची उत्तरे वेगळी असतात

प्रकाशाच्या परावर्तनावर एमपीएससी दोन प्रकारचे प्रश्न विचारते : वर्णनात्मक — समतल आरशातील प्रतिमा कशी असते, अंतर्वक्र आरसा कोठे वापरतात — आणि आकडेमोडीचे, जिथे दोन आरशांमधल्या प्रतिमांची संख्या हा सर्वात नेहमीचा प्रकार आहे. आकडेमोडीच्या प्रश्नात कोन 90, 72, 60, 45 किंवा 36 असा दिला जातो आणि पर्यायांत बरोबर उत्तराच्या आजूबाजूचे आकडे मुद्दाम ठेवलेले असतात, कारण नेहमीच्या चुका एका अंकाच्या असतात. तयारीसाठी सर्वात उपयोगी गोष्ट म्हणजे सूत्र पाठ करण्याऐवजी वर्तुळाचे चित्र लक्षात ठेवणे आणि त्यातून सूत्र प्रत्येक वेळी नव्याने काढणे; शिवाय n सम व विषम असतानाच्या दोन वेगळ्या अटी एकत्रच लक्षात ठेवाव्यात, कारण आयोग कधीकधी विषम n असलेला कोन देऊन वस्तूचे स्थानही प्रश्नात नमूद करते. याच धड्याला जोडून कॅलिडोस्कोप व पेरिस्कोपची रचना विचारली जाते, म्हणून त्यांतील आरशांची मांडणीही तयारीत ठेवावी.

या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  दोन समतल आरसे एकमेकांशी 60 अंशांचा कोन करून ठेवले असता तयार होणाऱ्या प्रतिमांची संख्या किती ?

  • (a)4
  • (b)5
  • (c)6
  • (d)7

  उत्तर(2) 5 — इथे 360 भागिले 60 म्हणजे 6, ही सम संख्या असल्याने प्रतिमांची संख्या 6 उणे 1 म्हणजे 5 होते, आणि वस्तू आरशांमध्ये कोठेही ठेवली तरी हेच उत्तर राहते. वर्तुळाच्या मांडणीने पाहिले तर सहा समान अंतरावरची स्थाने असतात, त्यांतले एक मूळ वस्तूचे आणि उरलेली पाच प्रतिमांची.

• सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही

  समतल आरशाने तयार होणाऱ्या प्रतिमेविषयी खालीलपैकी कोणते वर्णन बरोबर आहे ?

  • (a)ती वास्तव, उलटी व वस्तूपेक्षा लहान असते
  • (b)ती आभासी, सुलटी, वस्तूएवढी व पार्श्विक उलटी असते
  • (c)ती वास्तव, सुलटी व वस्तूपेक्षा मोठी असते
  • (d)ती आभासी, उलटी व वस्तूपेक्षा मोठी असते

  उत्तर(2) ती आभासी, सुलटी, वस्तूएवढी व पार्श्विक उलटी असते — शिवाय वस्तू आरशापुढे जितक्या अंतरावर असते तितक्याच अंतरावर ती आरशामागे तयार होते. समतल आरशातील प्रतिमा कधीही पडद्यावर घेता येत नाही, म्हणून ती वास्तव असूच शकत नाही; वस्तूपेक्षा लहान किंवा मोठ्या प्रतिमा गोलीय आरशांत मिळतात.