2 kg द्रव्यमान का एक ब्लॉक 3 m/s की आरंभिक चाल से गति करते हुए 3 m की दूरी तय करने के बाद एक खुरदरी क्षैतिज सतह पर रुक जाता है । घर्षण बल का परिमाण क्या है ?
- (a)9 N
- (b)3 N
- (c)18 N
- (d)1 N
सही — B, 3 N। ब्लॉक की संपूर्ण गतिज ऊर्जा रुकने से पहले तय की गई 3 m दूरी पर घर्षण के विरुद्ध कार्य करने में खप जाती है। उसकी आरंभिक गतिज ऊर्जा (1/2)mv^2 = (1/2)(2 kg)(3 m/s)^2 = 9 J है। इसे घर्षण द्वारा किए गए कार्य के बराबर रखने पर, f x d = 9 J जहाँ d = 3 m, से f = 9 / 3 = 3 N मिलता है। वही उत्तर यांत्रिकी से भी आता है: v^2 = u^2 - 2as में v = 0, u = 3 m/s और s = 3 m रखने पर मंदन 1.5 m/s^2 मिलता है, और न्यूटन के द्वितीय नियम से घर्षण बल f = ma = 2 x 1.5 = 3 N है।
- (a)9 N — 9 आरंभिक गतिज ऊर्जा का मान जूल में है, न्यूटन में बल नहीं। बल पाने के लिए उस ऊर्जा को अभी भी रुकने की 3 m दूरी से भाग देना होगा, जिससे 3 N मिलता है।
- (c)18 N — 18 तब आता है जब आधे का गुणक भूलकर ऊर्जा को mv^2 = 2 x 9 = 18 J मान लिया जाए। सही गतिज ऊर्जा (1/2)mv^2 = 9 J है, अतः बल 3 N है, 18 N नहीं।
- (d)1 N — यह बल को कम आँकता है। ऊर्जा संतुलन (1/2)mv^2 = f x d, f को 3 N पर नियत करता है; 1 N होने पर ब्लॉक 3 m से काफी आगे तक चलता रहता।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहती है कि किसी पिंड पर परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है। जब कोई गतिशील ब्लॉक समतल सतह पर घर्षण से रुकता है, तो गति की दिशा में कार्य करने वाला एकमात्र बल घर्षण होता है, अतः उस कार्य का परिमाण ब्लॉक द्वारा खोई गई गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
आकर्षक भूल यह है कि गतिज ऊर्जा (9 J) पढ़कर उसे ही बल बता दिया जाए, या (1/2)mv^2 में आधा छोड़ दिया जाए। घर्षण बल क्षय हुई ऊर्जा को उस दूरी से भाग देकर मिलता है जिस पर वह कार्य करता है, इसलिए जूलों को 3 m के पथ की लंबाई से न्यूटन में बदलना होगा।
- कार्य-ऊर्जा प्रमेय: परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
- ब्लॉक की गतिज ऊर्जा = (1/2)(2 kg)(3 m/s)^2 = 9 J।
- घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य = बल x दूरी = f x 3 m, जिसे 9 J के बराबर रखने पर f = 3 N मिलता है।
- गतिकी से जाँच: v^2 = u^2 - 2as से a = 1.5 m/s^2, अतः f = ma = 3 N।
- जूल में गतिज ऊर्जा को ही न्यूटन में बल मानकर बता देना, बिना दूरी से भाग दिए।
- (1/2)mv^2 में आधे का गुणक भूल जाना, जिससे उत्तर दुगुना होकर 18 N हो जाता है।
संख्यात्मक कार्य-ऊर्जा प्रश्न: बल पाने के लिए आरंभिक गतिज ऊर्जा को रुकने की दूरी पर घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर रखिए।
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- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
4 m/s से गतिशील 1 kg का ब्लॉक खुरदरे फ़र्श पर 2 m सरकने के बाद घर्षण से रुक जाता है। घर्षण बल का परिमाण है
- (a)2 N
- (b)4 N
- (c)8 N
- (d)16 N
Answer(b) 4 N — गतिज ऊर्जा (1/2)(1)(4^2) = 8 J, जो f x 2 m के बराबर है, अतः f = 4 N।
- अभ्यास — वास्तविक PYQ नहीं
कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहती है कि किसी पिंड पर कार्यरत परिणामी बल द्वारा किया गया कार्य उसके किसमें परिवर्तन के बराबर होता है?
- (a)संवेग
- (b)गतिज ऊर्जा
- (c)स्थितिज ऊर्जा
- (d)त्वरण
Answer(b) गतिज ऊर्जा — किसी पिंड पर किया गया परिणामी कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।