32 ग्रॅम मिथेन (रेणु वस्तुमान 16 g/mol) आणि 192 ग्रॅम ऑक्सिजन (रेणु वस्तुमान 32 g/mol) एकत्र मिसळले. हे दोन वायू जर एकमेकांशी रासायनिक अभिक्रिया करत नसतील तर मीथेन वायुचे मोल फ्रॅक्शन किती ?
- (1)0.25
- (2)6
- (3)0.167
- (4)4
बरोबर उत्तर पर्याय (1), म्हणजे 0.25. गणित तीनच पायऱ्यांचे आहे आणि कोणत्याही युक्तीची गरज नाही. पहिली पायरी : प्रत्येक वस्तुमानाचे मोलमध्ये रूपांतर करा, आणि त्यासाठी लागणारे रेणुवस्तुमान प्रश्नानेच पुरवले आहे. मिथेन — 32 ग्रॅम भागिले 16 ग्रॅम प्रति मोल, म्हणजे 2 मोल. ऑक्सिजन — 192 ग्रॅम भागिले 32 ग्रॅम प्रति मोल, म्हणजे 6 मोल. दुसरी पायरी : मिश्रणात एकूण किती वायू आहे ते काढा, म्हणजे 2 अधिक 6 बरोबर 8 मोल. तिसरी पायरी : मोल फ्रॅक्शनची व्याख्या लावा — ज्या घटकाविषयी विचारले आहे त्याचे मोल भागिले मिश्रणातील सर्व घटकांचे एकूण मोल. मिथेनसाठी ते 2 भागिले 8, म्हणजे 0.25. उत्तर तपासून पाहायचे असेल तर ऑक्सिजनचा मोल फ्रॅक्शन 6 भागिले 8, म्हणजे 0.75 येतो, आणि दोन्ही मिळून बरोबर 1 होतात — कोणत्याही मिश्रणातील सर्व घटकांचे मोल फ्रॅक्शन मिळून नेहमी 1 होतातच. उत्तराची तीन वैशिष्ट्ये लक्षात ठेवण्यासारखी आहेत, कारण त्यांच्या आधारे गणित पुन्हा न करता चुकीचे पर्याय बाद करता येतात. एक : मोल फ्रॅक्शन म्हणजे लहान राशी भागिले तिच्याहून मोठी राशी, त्यामुळे तो कधीही 1 पेक्षा मोठा असू शकत नाही आणि ऋणही असू शकत नाही; म्हणजे एकापेक्षा मोठा पूर्णांक असलेला कोणताही पर्याय पाहताक्षणीच बाद होतो. दोन : मोल फ्रॅक्शनला एकक नसते, कारण मोल भागिले मोल असे भागाकार झालेले असतात; तापमान व घनफळापासून स्वतंत्र राशी हवी असेल तेव्हा संहतीऐवजी हीच राशी वापरली जाते ती याचमुळे. तीन : हे गुणोत्तर पदार्थाच्या राशीचे आहे, वस्तुमानाचे नाही. 192 ग्रॅम ऑक्सिजन 32 ग्रॅम मिथेनच्या सहापट जड आहे, पण त्यात रेणू मात्र फक्त तिप्पट आहेत, कारण ऑक्सिजनचा रेणू मिथेनच्या रेणूपेक्षा दुप्पट जड आहे. वस्तुमान आणि पदार्थाची राशी यांची गल्लत ही या गणितातली सर्वात नेहमीची चूक असून पर्यायांतील एक आकडा नेमका त्याच चुकीतून येतो. 'हे दोन वायू एकमेकांशी रासायनिक अभिक्रिया करत नसतील तर' ही प्रश्नातील अट सजावट नाही. मिथेन आणि ऑक्सिजन एकत्र आले आणि पेटले तर ते ज्वलनातून कार्बन डायऑक्साइड व पाणी देतात आणि मिश्रणातील रेणूंची संख्याच बदलून जाते; अभिक्रिया होत नाही असे गृहीत धरल्यानेच सुरुवातीचे 2 आणि 6 मोल तसेच टिकतात आणि गणित सोडवण्याजोगे उरते. मराठी स्तंभात या वायूचे नाव दोनदा दोन प्रकारे छापले आहे — सुरुवातीला 'मिथेन' आणि शेवटच्या वाक्यात 'मीथेन' — तर इंग्रजी स्तंभात दोन्ही ठिकाणी 'methane' असेच आहे. हा प्रश्नपत्रिकेचाच मुद्रणातील फरक असून तो इथे जसाच्या तसा ठेवला आहे; वायू एकच आहे आणि गणितावर त्याचा काहीही परिणाम नाही.
- (2)6 — सहा हा मिश्रणातील ऑक्सिजनच्या मोलचा आकडा आहे — 192 ग्रॅम भागिले 32 ग्रॅम प्रति मोल असा. ती खरी राशी आहे आणि उत्तरापर्यंत जाणाऱ्या वाटेवरची आवश्यक पायरीही आहे, पण ती राशी आहे, गुणोत्तर नाही; आणि ती ज्या घटकाविषयी प्रश्न विचारला त्याचीही नाही. हा पर्याय गणित न करताही बाद करता येतो : मोल फ्रॅक्शन म्हणजे भाग भागिले पूर्ण, त्यामुळे तो नेहमी 0 आणि 1 यांच्या दरम्यान असतो आणि कोणत्याही मिश्रणातील कोणत्याही घटकाचा मोल फ्रॅक्शन 6 असू शकत नाही. उत्तराच्या मर्यादा आधीच ठाऊक असणे ही परीक्षेच्या हॉलमधली सर्वात स्वस्त सुरक्षा आहे : पर्यायांत 1 पेक्षा मोठा आकडा दिसला की तो तिथेच गाळून टाकावा आणि उरलेल्या दोनच पर्यायांवर वेळ खर्च करावा.
- (3)0.167 — हा आकडा दोन वस्तुमानांचा थेट भागाकार करून येतो — 32 ग्रॅम मिथेन भागिले 192 ग्रॅम ऑक्सिजन, म्हणजे एक षष्ठांश किंवा 0.167 — म्हणजे मोलमध्ये रूपांतर करण्याची पायरी पूर्णपणे वगळून. हीच चूक पकडण्यासाठी हा प्रश्न रचला आहे. दोन वायूंची वस्तुमाने सारखी असली तरी त्यांच्यातील रेणूंची संख्या सारखी असतेच असे नाही; ती तेव्हाच सारखी असते जेव्हा त्यांची रेणुवस्तुमानेही सारखी असतात, आणि इथे ती नाहीत : ऑक्सिजनचे रेणुवस्तुमान 32 असून ते मिथेनच्या 16 च्या दुप्पट आहे. शिवाय हा आकडा दोन घटकांचे परस्पर गुणोत्तर आहे, तर मोल फ्रॅक्शनच्या व्याख्येत भागाकार एकूण राशीने करायचा असतो. दोन्ही चुका एकाच वेळी टाळायच्या असतील तर पहिली पायरी नेहमी 'ग्रॅमचे मोल करा' हीच ठेवावी.
- (4)4 — चार म्हणजे उत्तर उलटे केल्यावर येणारा आकडा : एकूण 8 मोल भागिले मिथेनचे 2 मोल — म्हणजे मिथेन भागिले एकूण असे न करता एकूण भागिले मिथेन असे. ही चूक आकडेमोडीची नसून व्याख्येची आहे, आणि त्याचमुळे व्याख्या एकदाच पक्की करून घ्यावी : एखाद्या घटकाचा मोल फ्रॅक्शन म्हणजे त्या घटकाचे मोल भागिले उपस्थित असलेल्या सर्व घटकांचे एकूण मोल; म्हणजे अंशात नेहमी तो एकच घटक आणि छेदात संपूर्ण मिश्रण. एवढी सवय लागली की उत्तर आपोआप 0 ते 1 या पट्ट्यातच येते, आणि 4 सारखा आकडा येताच काहीतरी उलटे झाले आहे हे लगेच कळते. मिश्रणांच्या गणितात हीच खबरदारी वस्तुमान टक्केवारी, मोलॅरिटी व मोलॅलिटी यांच्या व्याख्यांबाबतही घ्यावी लागते.
मोल ही रसायनशास्त्रातील पदार्थाच्या राशीची एकक असून एका मोलमध्ये अॅव्होगाड्रो संख्येइतके — सुमारे 6.022 गुणिले 10 च्या 23 व्या घातांक इतके — कण असतात. कोणत्याही पदार्थाचे मोल काढायचे असतील तर त्याचे ग्रॅममधील वस्तुमान त्याच्या ग्रॅम प्रति मोल या रेणुवस्तुमानाने भागावे. मिश्रणाची संहती दर्शवण्याचे अनेक मार्ग आहेत आणि मोल फ्रॅक्शन म्हणजेच मोल अंश हा त्यांपैकी एक : एका घटकाचे मोल भागिले सर्व घटकांचे एकूण मोल. या राशीची तीन वैशिष्ट्ये तिला विशेष उपयुक्त ठरवतात — तिला एकक नसते, ती नेहमी 0 आणि 1 यांच्या दरम्यान असते, आणि मिश्रणातील सर्व घटकांचे मोल फ्रॅक्शन मिळून नेमके 1 होतात. शिवाय ती वस्तुमान किंवा घनफळावर नव्हे तर कणांच्या संख्येवर आधारित असल्याने तापमान व दाब बदलले तरी बदलत नाही; म्हणूनच वायूंच्या मिश्रणाचे वर्णन करताना, डाल्टनच्या आंशिक दाबाच्या नियमात आणि राऊल्टच्या नियमात तीच वापरली जाते. वायूंच्या बाबतीत अॅव्होगाड्रोच्या नियमामुळे आणखी एक सोय मिळते : समान तापमान व दाबाला समान घनफळांत समान संख्येने रेणू असतात, त्यामुळे वायूंच्या मिश्रणात मोलचे गुणोत्तर हेच घनफळाचेही गुणोत्तर असते. संहतीच्या इतर मापांशी याची तुलना करून पाहणे उपयोगी : मोलॅरिटी म्हणजे प्रति लिटर द्रावणातील मोल आणि ती तापमानावर अवलंबून असते, तर मोलॅलिटी म्हणजे प्रति किलोग्रॅम द्रावकातील मोल आणि ती तापमानापासून स्वतंत्र असते.
मोलची संकल्पना आणि तिच्यावर आधारित गणिते हा एमपीएससीच्या रसायनशास्त्र भागातील ठरलेला विषय आहे, कारण त्यातून थोड्या जागेत नेमके गुणांकन करता येते : उत्तर एकच असते, ते आकड्यात असते आणि चुकीचे पर्याय ठरावीक चुकांमधून तयार करता येतात. या प्रश्नाची रचना नेमकी तशीच आहे. चारांपैकी एकच आकडा खरा मोल फ्रॅक्शन आहे; एक आकडा गणिताच्या मधल्या पायरीचा आहे, एक आकडा मोलमध्ये रूपांतर न करता वस्तुमानांचा भागाकार केल्याने येतो, आणि एक आकडा व्याख्या उलटी लावल्याने येतो. म्हणजे प्रत्येक चुकीच्या पर्यायामागे एक ठरावीक चूक आहे, आणि उमेदवाराने कोणती चूक केली हे परीक्षक त्याच्या निवडीवरून ओळखू शकतो. अशा प्रश्नात वेळ वाचवण्याचा मार्ग म्हणजे आधी उत्तराच्या मर्यादा ठरवणे : मोल फ्रॅक्शन 0 ते 1 च्या दरम्यानच येणार असल्याने दोन पर्याय आकडेमोड सुरू करण्यापूर्वीच गळून पडतात, आणि उरलेल्या दोनांतली निवड एका भागाकाराने होते. मराठी स्तंभाची एक नोंद : प्रश्नात मिथेन या वायूचे नाव दोन ठिकाणी दोन प्रकारे छापले आहे, पण दोन्ही ठिकाणी वायू तोच आहे.
- मोल फ्रॅक्शन म्हणजेच मोल अंश = एका घटकाचे मोल भागिले मिश्रणातील सर्व घटकांचे एकूण मोल; ही राशी एकक नसलेली असते, नेहमी 0 आणि 1 यांच्या दरम्यान असते, आणि मिश्रणातील सर्व घटकांचे मोल फ्रॅक्शन मिळून नेमके 1 होतात.
- पदार्थाचे मोल = ग्रॅममधील वस्तुमान भागिले ग्रॅम प्रति मोल हे रेणुवस्तुमान. या प्रश्नात 32 भागिले 16 म्हणजे मिथेनचे 2 मोल आणि 192 भागिले 32 म्हणजे ऑक्सिजनचे 6 मोल, एकूण 8 मोल, आणि मिथेनचा मोल फ्रॅक्शन 2 भागिले 8 म्हणजे 0.25.
- समान वस्तुमानाच्या दोन वायूंत रेणूंची संख्या सारखी असतेच असे नाही; ती त्यांची रेणुवस्तुमाने सारखी असतील तरच सारखी असते. इथे ऑक्सिजनचे रेणुवस्तुमान मिथेनच्या दुप्पट असल्याने सहापट वस्तुमानात रेणू फक्त तिप्पट आहेत.
- मोल फ्रॅक्शन तापमान व घनफळावर अवलंबून नसतो, कारण त्यात मोल भागिले मोल असा भागाकार होतो; म्हणूनच डाल्टनच्या आंशिक दाबाच्या नियमात आणि राऊल्टच्या नियमात हीच राशी वापरली जाते. याउलट मोलॅरिटी तापमानाबरोबर बदलते.
- 'दोन वायू एकमेकांशी अभिक्रिया करत नाहीत' ही अट गणितासाठी आवश्यक आहे; मिथेन व ऑक्सिजन यांचे ज्वलन झाले तर कार्बन डायऑक्साइड व पाणी तयार होऊन मिश्रणातील रेणूंची संख्याच बदलेल आणि सुरुवातीचे मोल टिकणार नाहीत.
उरलेला आकडा 0.167 हा दोन वस्तुमाने थेट भागल्याने येतो — 32 ग्रॅम भागिले 192 ग्रॅम, म्हणजे एक षष्ठांश — म्हणजे तो मोलमध्ये रूपांतर करण्याची पायरीच वगळतो आणि वर एकूण प्रमाणाऐवजी दुसऱ्या घटकावर भाग घेतो; एका आकड्यात दोन चुका. दोन वायू एकमेकांशी अभिक्रिया करत नाहीत ही प्रश्नातली अटही सजावट नाही : मिथेन आणि ऑक्सिजन पेटवल्यावर सहज अभिक्रिया करतात, मिथेनचा एक रेणू ऑक्सिजनचे दोन रेणू वापरतो, आणि अभिक्रिया होऊ दिली तर उपस्थित प्रमाणे बदलत जातील व प्रश्नाला एकच उत्तर उरणार नाही. मोल फ्रॅक्शनला दोन ठरलेल्या नियमांत जागा आहे — डाल्टनचा नियम, ज्यानुसार घटकाचा आंशिक दाब म्हणजे त्याचे मोल फ्रॅक्शन गुणिले एकूण दाब, त्यामुळे इथे मिथेन एकचतुर्थांश दाब देईल आणि ऑक्सिजन तीनचतुर्थांश; आणि राउल्टचा नियम, ज्यातून संख्यात्मक गुणधर्म निघतात. मुद्रणाची एक नोंद : मराठी स्तंभात एकाच वाक्यात या वायूचे नाव दोनदा दोन वेगळ्या शुद्धलेखनांनी आले आहे — आधी 'मिथेन' आणि पुढे 'मीथेन' — तर इंग्रजी स्तंभात दोन्ही वेळा methane असेच छापले आहे. दोन्ही रूपे एकाच वायूची आहेत आणि आकडेमोडीशी त्यांचा काहीही संबंध नाही.
- ग्रॅमचे मोलमध्ये रूपांतर न करता थेट वस्तुमानांचे गुणोत्तर काढणे; या प्रश्नातील एक चुकीचा पर्याय नेमका त्याच चुकीतून तयार झाला आहे
- मोल फ्रॅक्शनच्या व्याख्येत छेदात एकूण मोल न घेता दुसऱ्या घटकाचे मोल घेणे, किंवा अंश व छेद उलटे लावणे
- उत्तराच्या मर्यादा न तपासणे; मोल फ्रॅक्शन नेहमी 0 ते 1 दरम्यान असल्याने 1 पेक्षा मोठा कोणताही पर्याय गणित न करताच बाद होतो
- 'अभिक्रिया होत नाही' ही अट सजावट समजणे; ती नसती तर ज्वलनानंतर रेणूंची संख्याच बदलली असती आणि सुरुवातीचे मोल वापरता आले नसते
मोलवर आधारित गणिते एमपीएससी ठरावीक साच्यांत विचारते : दिलेल्या वस्तुमानात किती मोल किंवा किती रेणू, दिलेल्या मिश्रणातील एका घटकाचा मोल फ्रॅक्शन, आदर्श वायू समीकरण वापरून घनफळ किंवा दाब, आणि संतुलित समीकरणावरून उत्पादनाचे वस्तुमान. अशा प्रश्नांचे चुकीचे पर्याय बहुधा ठरावीक चुकांमधून तयार केलेले असतात — मधली पायरी उत्तर म्हणून देणे, व्याख्या उलटी लावणे, किंवा मोलऐवजी वस्तुमान वापरणे — त्यामुळे उत्तर काढल्यानंतर 'माझा आकडा कोणत्या चुकीतून येऊ शकेल' असे एकदा तपासले तर पडताळणी आपोआप होते. संहतीच्या मापांची तुलनाही वारंवार विचारली जाते, विशेषतः मोलॅरिटी तापमानावर अवलंबून आणि मोलॅलिटी तापमानापासून स्वतंत्र हा मुद्दा. तयारीसाठी सर्वात उपयोगी गोष्ट म्हणजे सामान्य रेणूंची रेणुवस्तुमाने तोंडपाठ असणे — पाणी 18, कार्बन डायऑक्साइड 44, ऑक्सिजन 32, नायट्रोजन 28, मिथेन 16 — कारण तेवढ्याने अशा गणितातली पहिली पायरी क्षणात पार पडते.
या प्रश्नाशी थेट संबंधित मागील PYQ आढळला नाही.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
एका बंद पात्रात 4 ग्रॅम हायड्रोजन (रेणुवस्तुमान 2 g/mol) आणि 32 ग्रॅम ऑक्सिजन (रेणुवस्तुमान 32 g/mol) यांचे मिश्रण आहे; ऑक्सिजनचा मोल फ्रॅक्शन किती ?
- (a)0.5
- (b)0.33
- (c)0.25
- (d)2
उत्तर(b) 0.33. हायड्रोजनचे मोल म्हणजे 4 भागिले 2, म्हणजे 2 मोल; ऑक्सिजनचे मोल म्हणजे 32 भागिले 32, म्हणजे 1 मोल; एकूण 3 मोल. ऑक्सिजनचा मोल फ्रॅक्शन 1 भागिले 3, म्हणजे सुमारे 0.33, आणि हायड्रोजनचा 2 भागिले 3, म्हणजे सुमारे 0.67 — दोन्ही मिळून 1. वस्तुमानाने ऑक्सिजन आठपट जड असूनही त्याचा मोल फ्रॅक्शन लहान आहे, कारण त्याचा रेणू सोळापट जड आहे. यातला 2 हा पर्याय पाहताक्षणीच बाद होतो, कारण मोल फ्रॅक्शन कधीही 1 पेक्षा मोठा नसतो.
- सराव प्रश्न — प्रत्यक्ष विचारलेला प्रश्न नाही
मिश्रणाची संहती दर्शवणाऱ्या खालील मापांपैकी कोणते माप तापमान बदलले तरी बदलत नाही ?
- (a)मोलॅरिटी
- (b)मोलॅलिटी
- (c)प्रति लिटर ग्रॅममधील संहती
- (d)आकारमानानुसार टक्केवारी
उत्तर(b) मोलॅलिटी. मोलॅलिटी म्हणजे प्रति किलोग्रॅम द्रावकातील विद्राव्याचे मोल, आणि तिच्या व्याख्येत फक्त वस्तुमाने येतात; वस्तुमान तापमानाने बदलत नाही, म्हणून मोलॅलिटीही बदलत नाही. मोलॅरिटी, प्रति लिटर ग्रॅममधील संहती आणि आकारमानानुसार टक्केवारी या तिन्हींच्या व्याख्येत घनफळ येते, आणि तापमान वाढल्यावर द्रावणाचे घनफळ वाढल्याने त्यांची किंमत बदलते. मोल फ्रॅक्शनही याच कारणाने तापमानापासून स्वतंत्र असतो, कारण त्यात मोल भागिले मोल असा भागाकार होतो.